Question

為培養(yǎng)高中生綜合實踐能力和團隊合作意識，某市教育部門主辦了全市高中生綜合實踐知識與技能競賽．該競賽分為預賽和決賽兩個階段，參加決賽的團隊按照抽簽方式?jīng)Q定出場順序．通過預賽，共選拔出甲、乙等六個優(yōu)秀團隊參加決賽．
（Ⅰ）求決賽出場的順序中，甲不在第一位、乙不在第六位的概率；
（Ⅱ）若決賽中甲隊和乙隊之間間隔的團隊數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)“甲不在第一位、乙不在第六位”為事件A，由對立事件概率計算公式能求出甲不在第一位、乙不在第六位的概率．
（Ⅱ）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)“甲不在第一位、乙不在第六位”為事件A，…（1分）
則P(A)=

A 6 6 -2 A 5 5 + A 4 4

A 6 6

=

7

10

…（3分）
所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率為

7

10

．…（4分）
（Ⅱ）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4…（5分）
P(X=0)=

A 2 2 A 5 5

A 6 6

=

1

3

，
P(X=1)=

C 1 4 A 2 2 A 4 4

A 6 6

=

4

15

，
P(X=2)=

C 2 4 A 2 2 A 2 2 A 3 3

A 6 6

=

1

5

，
P(X=3)=

C 3 4 A 2 2 A 2 2 A 3 3

A 6 6

=

2

15

，
P(X=4)=

A 2 2 A 4 4

A 6 6

=

1

15

，（每個式子1分）…（10分）
隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	1 3	4 15	1 5	2 15	1 15

因為 EX=0×

1

3

+1×

4

15

+2×

1

5

+3×

2

15

+4×

1

15

=

4

3

，
所以隨機變量X的數(shù)學期望為

4

3

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．