Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x-1

，
（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值和最小值．

解答： 解：（1）設(shè)x₁、x₂是區(qū)間[2，6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

…（2分）
=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．…（6分）
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數(shù)y=

2

x-1

是區(qū)間[2，6]上的減函數(shù)．…（8分）
（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=

2

1-x

在區(qū)間[2，6]上是減函數(shù)，
∴函數(shù)y=

2

1-x

在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值和最小值，
即當(dāng)x=2時(shí)，y_max=2；當(dāng)x=6時(shí)，ymin=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性求函數(shù)的最大值、最小值．