Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a_n+1=2S_n+2（n∈N⁺）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為d_n的等差數(shù)列．求證：

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

＜

15

16

（n＜N⁺）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）和等比數(shù)列的定義即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；利用、“錯位相減法”和等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）n≥2時，由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+2，
兩式相減可得：a_n+1-a_n=2a_n，∴a_n+1=3a_n，即數(shù)列{a_n}的公比為3，
∵n=1時，a₂=2S₁+2，∴3a₁=2a₁+2，解得a₁=2，
∴a_n=2×3^n-1；
（2）由（1）可知a_n=2•3^n-1，an+1=2•3n，
∵a_n+1=a_n+（n+2-1）d，
∴d_n=

4×3n-1

n+1

，

1

dn

=

n+1

4×3n-1

令T_n=

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

=

2

4×30

+

3

4×31

+…+

n+1

4×3n-1

，

1

3

T_n=

2

4×31

+

3

4×32

+…+

n+1

4×3n

，
兩式相減：

2

3

T_n=

2

4×30

+

1

4×31

+…+

1

4×3n-1

-

n+1

4×3n

=

1

2

+

1

4

•

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4×3n

=

5

8

-

2n+5

8×3n

，
∴T_n=

15

16

-

3(2n+5)

16×3n

＜

15

16

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式及利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義及其通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．