Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2-2x-1  x≥0 x2+bx+c  x＜0

為偶函數(shù)，直線y=x+m與函數(shù)y=f（x）的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，建立方程關(guān)系，即可求出a，b，c的值，然后利用數(shù)形結(jié)合即可的結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
若x＜0，則-x＞0，
此時(shí)f（-x）=ax²+2x-1=x²+bx+c，
即a=1，b=2，c=-1，
則f（x）=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
平移直線y=x+m，
由圖象可知當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)（0，-1）時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)m=-1，
當(dāng)直線y=x+m在第三象限與y=x²+2x-1相切時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)也只有3個(gè)交點(diǎn)，
由y′=2x+2=1，解得x=-

1

2

，此時(shí)y=（-

1

2

）²+2（-

1

2

）-1=-

7

4

，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，-

7

4

），此時(shí)m=-

7

4

-（-

1

2

）=-

5

4

，
∴要使兩個(gè)函數(shù)有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則m∈(-

5

4

，-1)，
故答案為：(-

5

4

，-1)

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想，綜合性較強(qiáng)．