Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（Ⅰ）關(guān)于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=

2

2

，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）關(guān)于由不等式解集整數(shù)的個數(shù)，然后求未知量取值范圍的題目，可利用恒等變換，把它轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點的問題，即可求解；
（Ⅱ）設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx，利用導數(shù)知識判斷單調(diào)性，求出 x=

e

時，F(xiàn)（x） 取得最小值0．
設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，方程為y=kx+

e

2

-k

e

，由 f（x）≥kx+

e

2

-k

e

，對x∈R恒成立，求得k=

e

．再利用導數(shù)證明g（x）≤

e

x-

e

2

（x＞0）成立，從而得到所求“分界線”方程．

解答： 解：（Ⅰ）不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，
等價于（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三個整數(shù)解，故1-a²＜0，
令h（x）=（1-a²）x²-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a²＜0（a＞0），
所以函數(shù)h（x）=（1-a²）x²-2x+1的一個零點在區(qū)間（0，1），
則另一個零點一定在區(qū)間（-3，-2），這是因為此時不等式解集中有-2，-1，0恰好三個整數(shù)解
故h（-2）＞0，h（-3）≤0，解之得

4

3

≤a＜

3

2

．
（Ⅱ）設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx，
則F′(x)=

(x- e )(x+ e )

x

．
所以當0＜x＜ 

e

時，F(xiàn)′（x）＜0；當x＜

e

時，F(xiàn)′（x）＞0．
因此x=

e

時，F(xiàn)（x）取得最小值0，
則f（x）與g（x）的圖象在x=

e

處有公共點（

e

，

e

2

）．
設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，方程為y-

e

2

=k(x-

e

)，即y=kx+

e

2

-k

e

，
由f（x）≥kx+

e

2

-k

e

在x∈R恒成立，
則x²-2kx-e+2k

e

≥0在x∈R恒成立．
所以△=4(k-

e

)2≤0成立，
因此k=

e

．
下面證明g（x）≤

e

x-

e

2

（x＞0）恒成立．
設(shè)G（x）=elnx-x

e

+

e

2

，則G′（x）=

e ( e -x)

x

．
所以當0＜x＜ 

e

時，G′（x）＞0；當x＞

e

時，G′（x）＜0．
因此x=

e

時G（x）取得最大值0，則g（x）≤

e

x-

e

2

（x＞0）成立．
故所求“分界線”方程為：y=

e

x-

e

2

．

點評：本題主要考查解整式和分式不等式，導數(shù)知識判斷單調(diào)性及其應(yīng)用，存在性，以及探索、等價轉(zhuǎn)化和推理證明能力，解決綜合問題的能力．