Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點F（c，0）（c＞0）做圓x²+y²=

b2

4

的切線，切點為M，直線FM交雙曲線的左支于N，若向量

FM

=

MN

，則此雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設雙曲線是左焦點為F'（-c，0 ），連接NF'，由向量

FM

=

MN

，可得切點M為線段FN的中點，且OM⊥FN，運用中位線定理和勾股定理，結合雙曲線的定義，即可得到b²=4a²，再由離心率公式，計算即可得到結論．

解答： 解：設雙曲線是左焦點為F'（-c，0 ），連接NF'，
由向量

FM

=

MN

，
可得切點M為線段FN的中點，且OM⊥FN，
又O為FF'的中點，
由中位線定理可得OM∥NF'，且|NF'|=2|OM|=2×

b

2

=b，
NF⊥NF'，
由勾股定理可得|NF|²+|NF'|²=|FF'|²，
由雙曲線的定義可得|NF|-|NF'|=2a，
則|NF|=2a+b，
即有（2a+b）²+b²=4c²，
即4（c²-a²）=2b²+4ab，
即為b²=4a²，
即c²=5a²，
則e=

c

a

=

5

．
故答案為：

5

．

點評：本題考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，主要考查離心率的求法，運用中位線定理和判斷FNF'為直角三角形是解題的關鍵．