Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足6S_n+1=9a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an

，求數(shù)列{b_n}和{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）b_n=

1

an

=

1

3n-2

，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出T_n．

解答： 解：（I）∵6S_n+1=9a_n（n∈N^*），
∴當n≥2時，6S_n-1+1=9a_n-1，
6a_n=9a_n-9a_n-1，
化為a_n=3a_n-1，
當n=1時，6a₁+1=9a₁，解得a₁=

1

3

．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為

1

3

，公比為3．
∴a_n=

1

3

×3n-1=3^n-2．
（II）b_n=

1

an

=

1

3n-2

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

3[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

9

2

[1-(

1

3

)n]．

點評：本題考查了遞推式的應用、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．