Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的點P向x軸作垂線恰好通過雙曲線的左焦點F₁，雙曲線的虛軸端點B與右焦點F₂的連線平行于PO，如圖．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若直線BF₂與雙曲線交于M、N兩點，且|MN|=12，求雙曲線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出雙曲線的焦點和虛軸端點B，令x=-c，求得P的坐標(biāo)，再由兩直線平行的條件，可得a=b，再由離心率公式計算即可得到；
（2）設(shè)直線BF₂的方程，代入雙曲線的方程，消去y，得x的方程，運用韋達定理和弦長公式，計算即可得到c=2

2

．進而得到a=b=2，即有雙曲線的方程．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
且設(shè)B（0，b），
令x=-c，則

c2

a2

-

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

，
可取P（-c，

b2

a

），由PO∥BF₂，可得-

b2

ac

=

b

-c

，
即有a=b，c=

a2+b2

=

2

a，
則雙曲線的離心率e=

c

a

=

2

；
（2）設(shè)直線BF₂的方程為y=-

b

c

（x-c），即為y=-

2

2

（x-c），
代入雙曲線方程可得

1

2

x²+cx-

1

2

c²-a²=0，
即為x²+2cx-2c²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=-2c，x₁x₂=-2c²，
則|MN|=

1+ 1 2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

6

2

•

4c2+8c2

=3

2

c=12，
解得c=2

2

．
則有a=b=2，
即有雙曲線的方程為x²-y²=4．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率公式的運用，運用直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．