Question

已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

5

2

，虛軸長(zhǎng)為2．
（Ⅰ）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B均異于左、右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)雙曲線C的左頂點(diǎn)D，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知得：

c

a

=

5

2

，2b=2，易得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ））設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+m x2 4 -y2=1

，得（1-4k²）x²-8mkx-4（m²+1）=0，以AB為直徑的圓過(guò)雙曲線C的左頂點(diǎn)D（-2，0），∴k_ADk_BD=-1，即

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=-1，代入即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由已知得：

c

a

=

5

2

，2b=2，又a²+b²=c²，解得a=2，b=1，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

-y2=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+m x2 4 -y2=1

，得（1-4k²）x²-8mkx-4（m²+1）=0，
有

1-4k2＞0 △=64m2k2+16(1-4k2)(m2+1)＞0 x1+x2= 8mk 1-4k2 ＜0 x1x2= -4(m2+1) 1-4k2 ＞0

，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

m2-4k2

1-4k2

，
以AB為直徑的圓過(guò)雙曲線C的左頂點(diǎn)D（-2，0），
∴k_ADk_BD=-1，即

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=0，
∴

m2-4k2

1-4k2

+

-4(m2+1)

1-4k2

+

16mk

1-4k2

+4=0，
∴3m²-16mk+20k²=0．
解得m=2k或m=

10k

3

．
當(dāng)m=2k時(shí)，l的方程為y=k（x+2），直線過(guò)定點(diǎn)（-2，0），與已知矛盾；
當(dāng)m=

10k

3

時(shí)，l的方程為y=k（x+

10

3

），直線過(guò)定點(diǎn)（-

10

3

，0），經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件．
故直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（-

10

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線方程的求解，以及直線和圓錐曲線的相交問(wèn)題，聯(lián)立方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．