【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+6過點A(6,0),B(4,6),與y軸交于點C.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)如圖1,直線l的解析式為y=x,拋物線的對稱軸與線段BC交于點P,過點P作直線l的垂線,垂足為點H,連接OP,求△OPH的面積;
(3)把圖1中的直線y=x向下平移4個單位長度得到直線y=x-4,如圖2,直線y=x-4與x軸交于點G.點P是四邊形ABCO邊上的一點,過點P分別作x軸、直線l的垂線,垂足分別為點E,F.是否存在點P,使得以P,E,F為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)S△OPH=8;(3)存在滿足條件的點P,點P坐標為:(0,4),(,),(4,6),(,6).
【解析】
(1)把,代入解析式,求解即可;
(2)延長交軸于點,則、均為等腰直角三角形,運用計算即可;
(3)由于點可能在、、、、上,而等腰三角形本身又有三種情況,故分別討論與計算即可.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+6過點A(6,0),B(4,6),
∴
(2)∵該拋物線的對稱軸為直線 ∴CP=2.
如圖1,延長HP交y軸于點M,則△OMH、△CMP均為等腰直角三角形.
∴CM=CP=2,
∴OM=OC+CM=6+2=8. OH=MH=
S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=
(3)存在滿足條件的點P,點P坐標為:
(0,4),(,),(4,6),(,6).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=40°,∠C=80°,按要求完成下列各題:
(1)作△ABC的高AD;
(2)作△ABC的角平分線AE;
(3)根據(jù)你所畫的圖形求∠DAE的度數(shù).
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【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,BE⊥EF,DF⊥EF,BE=2.5dm,DF=4dm,那么EF的長為( )
A. 6.5dm B. 6dm C. 5.5dm D. 4dm
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【題目】如圖,半圓O的直徑為AB,D是半圓上的一個動點(不與點A,B重合),連接BD并延長至點C,使CD=BD,過點D作半圓O的切線交AC于點E.
(1)請猜想DE與AC的位置關系,并說明理由;
(2)當AB=6,BD=2時,求DE的長.
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【題目】現(xiàn)有正方形ABCD和一個以O為直角頂點的三角板,移動三角板,使三角板的兩直角邊所在直線分別與直線BC,CD交于點M,N.
如圖1,若點O與點A重合,容易得到線段OM與ON的關系.
(1)觀察猜想:如圖2,若點O在正方形的中心(即兩條對角線的交點),OM與ON的數(shù)量關系是___________;
(2)探究證明:如圖3,若點O在正方形的內部(含邊界),且OM=ON,請判斷三角板移動過程中所有滿足條件的點O可組成什么圖形,并說明理由;
(3)拓展延伸:若點O在正方形的外部,且OM=ON,請你在圖4中畫出滿足條件的一種情況,并就“三角板在各種情況下(含外部)移動,所有滿足條件的點O所組成的圖形”,寫出正確的結論.(不必說明
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【題目】在平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點坐標分別為A(-3,0),B(-3,-4),C(-1,-4).
(1)求△ABC的面積;
(2)在圖中作出△ABC關于x軸對稱的圖形△DEF,點A、B、C的對稱點分別為D、E、F,并寫出D、E、F的坐標.
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【題目】已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標是(1,4),它與直線y2=x+1的一個交點的橫坐標為2.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在給出的坐標系中畫出拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)及直線y2=x+1的圖象,并根據(jù)圖象,直接寫出使y1≥y2的x的取值范圍.
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【題目】如圖①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分線交于O點,過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.試回答:
(1)圖中等腰三角形是 .猜想:EF與BE、CF之間的關系是 .理由:
(2)如圖②,若AB≠AC,圖中等腰三角形是 .在第(1)問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎?
(3)如圖③,若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O,過O點作OE∥BC交AB于E,交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關系又如何?說明你的理由.
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