【題目】現(xiàn)有正方形ABCD和一個以O為直角頂點(diǎn)的三角板,移動三角板,使三角板的兩直角邊所在直線分別與直線BC,CD交于點(diǎn)M,N

如圖1,若點(diǎn)O與點(diǎn)A重合,容易得到線段OMON的關(guān)系.

(1)觀察猜想:如圖2,若點(diǎn)O在正方形的中心(即兩條對角線的交點(diǎn)),OMON的數(shù)量關(guān)系是___________;

(2)探究證明:如圖3,若點(diǎn)O在正方形的內(nèi)部(含邊界),且OM=ON,請判斷三角板移動過程中所有滿足條件的點(diǎn)O可組成什么圖形,并說明理由;

(3)拓展延伸:若點(diǎn)O在正方形的外部,且OM=ON,請你在圖4中畫出滿足條件的一種情況,并就三角板在各種情況下(含外部)移動,所有滿足條件的點(diǎn)O所組成的圖形,寫出正確的結(jié)論.(不必說明

【答案】(1)相等(OM=ON);(2)判斷:三角板移動過程中所有滿足條件的點(diǎn)O可組成線段AC(對角線AC,證明詳見解析;(3)詳見解析

【解析】

(1)連接,則通過判定,可以得到;

(2)過點(diǎn),作,可以通過判定,得出,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的平分線上;

(3)如圖4,可以運(yùn)用(2)中作輔助線的方法,判定三角形全等并得出結(jié)論.

(1)相等(OM=ON);

(2)判斷:三角板移動過程中所有滿足條件的點(diǎn)O可組成線段AC(對角線AC).

如圖3,過點(diǎn)O分別作OEBCOFCD,垂足分別為E,F,OEM=∠OFN=90°.

∵∠C=90°,

∴∠EOF=∠MON =90°.

∴∠MOE=∠NOF

MOENOF,∵∠OEM=∠OFN,∠MOE=∠NOF,OM=ON,

∴△MOE≌△NOFAAS).

OE=OF

OEBC,OFCD

點(diǎn)OC的角平分線上.

三角板移動過程中所有滿足條件的點(diǎn)O可組成線段AC(對角線AC).

(3)畫圖如圖4:

三角板移動過程中所有滿足條件的點(diǎn)O可組成直線AC或過點(diǎn)C且與AC垂直的直線

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(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,如果∠BAC=90°,則∠BCE=________度;

(2)設(shè),

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)在線段BC上移動,則,之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;

②當(dāng)點(diǎn)在直線BC上移動,則,之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論.

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