Question

【題目】在△ABC中，∠C>∠B．如圖①，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC．

（1）如圖①，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC，能猜想出∠DAE與∠B、∠C之間的關系是什么？并說明理由．

（2）如圖②，AE平分∠BAC，F為AE上的一點，且FD⊥BC于點D，這時∠EFD與∠B、∠C有何數(shù)量關系？請說明理由．

（3）如圖③，AE平分∠BAC，F為AE延長線上的一點，FD⊥BC于點D，請你寫出這時∠EFD與∠B、∠C之間的數(shù)量關系(只寫結(jié)論，不必說明理由)．

Answer 1

【答案】（1），證明詳見解析；（2），證明詳見解析；（3）

【解析】

（1）由圖不難發(fā)現(xiàn)∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及其推論結(jié)合角平分線的定義分別用結(jié)論中出現(xiàn)的角替換∠EAC和∠DAC．

（2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出∠BAE=90°-（∠C+∠B），外角的性質(zhì)得出∠AEC=90°+（∠B-∠C），在△EFD中，由三角形內(nèi)角和定理可得∠EFD；
（3）與（2）的方法相同．

證明：（1）∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=∠BAC
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠EAC= [180°-（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，
∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD= [180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）=（∠C-∠B）．
（2）∠EFD=（∠C-∠B）
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE==90°-（∠C+∠B），
∵∠AEC為△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°-（∠C+∠B）=90°+（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-（∠B-∠C）
∴∠EFD=（∠C-∠B）
（3）∠EFD=（∠C-∠B）．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=．
∵∠DEF為△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+ =90°+（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-（∠B-∠C），
∴∠EFD=（∠C-∠B）．