【題目】如圖,點(diǎn)P為拋物線L:y=a(x﹣2)(x﹣4)(其中a為常數(shù),且a<0)的頂點(diǎn),L與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線,與L交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,與射線OP交于點(diǎn)B,連接OA
(1)a=﹣2時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ,點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ;
(2)是否存在a的值,使OA=OB?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
(3)若△OAB的外心N的坐標(biāo)為(p,q),則
①當(dāng)點(diǎn)N在△OAB內(nèi)部時(shí),求a的取值范圍;
②用a表示外心N的橫坐標(biāo)p和縱坐標(biāo)q,并求p與q的關(guān)系式(不寫q的取值范圍).
【答案】(1)(3,2),(6,4);(2)不存在,見(jiàn)解析;(3)①﹣<a<0;②N橫坐標(biāo)p= a2+3,N縱坐標(biāo)q=3a ;p=q2+3
【解析】
(1)按照題意逐步計(jì)算:先把a=﹣2代入拋物線求出頂點(diǎn)P及與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo),得到直線OP解析式.由AC∥x軸可知A、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,進(jìn)而求出點(diǎn)A.由AB⊥x軸可得B的橫坐標(biāo)與A相同,再代回直線OP即求得B的縱坐標(biāo).
(2)按照(1)的解題思路,先用a表示點(diǎn)P、C,然后得到點(diǎn)A坐標(biāo),即得到點(diǎn)B橫坐標(biāo),再代回直線OP求得點(diǎn)B坐標(biāo).由于點(diǎn)A、B到x軸距離不相等,x軸不能垂直平分AB,故不存在a使OA=OB.
(3)①銳角三角形的外心會(huì)落在三角形內(nèi)部,而∠OAB與∠OBA一定小于90°,則∠AOB<90°,可得OA2+OB2>AB2,把含a的式子代入即得到關(guān)于a的不等式,結(jié)合a<0得到a的取值范圍;
②外心N為△OAB三邊垂直平分線交點(diǎn),由AB⊥x軸即可得點(diǎn)N縱坐標(biāo)q=3a,由ON=AN列得關(guān)于a、p的等式,整理即得到用a表示p.再把a=q代入即得到p關(guān)于q的關(guān)系式.
解:(1)∵a=﹣2
∴拋物線L:y=﹣2(x﹣2)(x﹣4)=﹣2x2+12x﹣16=﹣2(x﹣3)2+2
∴頂點(diǎn)P(3,2),C(0,﹣16)
∴直線OP解析式為:y=x
∵AC∥x軸
∴yA=yC=﹣16,A、C關(guān)于直線x=3對(duì)稱
∴A(6,﹣16)
∵AB⊥x軸
∴xB=xA=6
∴yB=×6=4,即B(6,4)
故答案為:(3,2);(6,4).
(2)不存在a的值使OA=OB,理由如下:
∵拋物線L:y=a(x﹣2)(x﹣4)=ax2﹣6ax+8a=a(x﹣3)2﹣a
∴頂點(diǎn)P(3,﹣a),C(0,8a)
∴直線OP解析式為:y=﹣x
∴A(6,8a)
∴yB=﹣×6=﹣2a
∵a≠0
∴|yA|≠yB,即x軸不平分AB
∴OA≠OB
(3)①∵△OAB的外心N在其內(nèi)部
∴△OAB是銳角三角形
∴∠AOB<90°
∴OA2+OB2>AB2
∵A(6,8a),B(6,﹣2a)
∴62+(8a)2+62+(﹣2a)2>(8a+2a)2
解得:﹣<a<0
②∵外心N在AB的垂直平分線上,AB⊥x軸
∴q==3a
∴N(p,3a),a=
∵ON=AN,即ON2=AN2
∴p2+(3a)2=(6﹣p)2+(8a﹣3a)2
整理得:p=a2+3
把a=代入得:p=q2+3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線于另一點(diǎn)C,點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn),連接CE,AE,設(shè)AE交y軸于點(diǎn)F,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,且,C、D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.
(1)若,求拋物線的解析式;
(2)在(1)的條件下,試探究拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使為以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)設(shè)點(diǎn)P是直線AE上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),若的面積最大值為,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件,其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表:
商品名稱 | 甲 | 乙 |
進(jìn)價(jià)(元/件) | 40 | 90 |
售價(jià)(元/件) | 60 | 120 |
設(shè)其中甲種商品購(gòu)進(jìn)x件,商場(chǎng)售完這100件商品的總利潤(rùn)為y元.
(Ⅰ)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)該商場(chǎng)計(jì)劃最多投入8000元用于購(gòu)買這兩種商品,
①至少要購(gòu)進(jìn)多少件甲商品?
②若銷售完這些商品,則商場(chǎng)可獲得的最大利潤(rùn)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于長(zhǎng)度為4的線段AB(圖1),小若用尺規(guī)進(jìn)行如下操作(圖2)根據(jù)作圖痕跡,有下列說(shuō)法:①△ABC是等腰三角形;②△ABC是直角三角形;③△ABC是等邊三角形;④弧AD的長(zhǎng)度為,⑤△ABC是直角三角形的依據(jù)是直徑所對(duì)的圓周角為直角,則其中正確的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】人們利用“公眾號(hào)”進(jìn)行學(xué)習(xí)和獲取信息已成為了生活常態(tài),為了解某個(gè)學(xué)習(xí)類公眾號(hào)的推廣情況,小方同學(xué)調(diào)查統(tǒng)計(jì)了從周一到周五對(duì)該公眾號(hào)進(jìn)行關(guān)注的“粉絲”人數(shù)的變化情況,并將結(jié)果繪制成如圖1和圖2所示的兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖
根據(jù)以上信息,完成下面的問(wèn)題:
(1)如圖2,周三進(jìn)行關(guān)注的“粉絲”人數(shù)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角是 °;
(2)將折線統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)在原來(lái)基礎(chǔ)上,小方對(duì)該公眾號(hào)又統(tǒng)計(jì)了后續(xù)周六和周日關(guān)注的“粉絲”人數(shù)發(fā)現(xiàn)這7天平均每天關(guān)注的“粉絲”人數(shù)比前5天平均每天關(guān)注的“粉絲”人數(shù)多2人,則
①周六和周日這兩天關(guān)注了該公眾號(hào)的一共是 人;
②現(xiàn)從周六關(guān)注公眾號(hào)的前3位男士“粉絲”和周日關(guān)注公眾號(hào)的前2位女士“粉絲”中,隨機(jī)抽取兩位進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),請(qǐng)用列表法或者畫樹狀圖的方法,求所抽取的兩位“粉絲”恰好是一男一女的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形AOBC中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA、OB分別在x軸、y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3),∠ABO=30°,將△ABC沿AB所在直線對(duì)折后,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F,連接BD、DP,BD與CF相交于點(diǎn)H,給出下列結(jié)論:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PHPC
其中正確的是( 。
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具,進(jìn)價(jià)為20元,試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn):當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí),每天的銷售量為250件,銷售單價(jià)每上漲1元,每天的銷售量就減少10件
(1)寫出商場(chǎng)銷售這種文具,每天所得的銷售利潤(rùn)(元)與銷售單價(jià)(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求銷售單價(jià)為多少元時(shí),該文具每天的銷售利潤(rùn)最大;
(3)商場(chǎng)的營(yíng)銷部結(jié)合上述情況,提出了A、B兩種營(yíng)銷方案
方案A:該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)30元;
方案B:每天銷售量不少于10件,且每件文具的利潤(rùn)至少為25元
請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高,并說(shuō)明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A.C分別在x軸、y軸上,反比例函數(shù)的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N,ND⊥x軸,垂足為D,連接OM、ON、MN.
下列結(jié)論:
①△OCN≌△OAM;
②ON=MN;
③四邊形DAMN與△MON面積相等;
④若∠MON=45°,MN=2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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