Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D，過點A的直線交拋物線于另一點C，點E為拋物線的頂點，連接CE，AE，設AE交y軸于點F，點A的坐標為，且，C、D兩點關于對稱軸對稱．

（1）若，求拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，試探究拋物線上是否存在一點M，使為以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）設點P是直線AE上方拋物線上的一動點，若的面積最大值為，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點M的坐標為或；（3）

【解析】

（1）過點E作軸于點G，根據三角形中位線的性質求得點E的坐標，利用頂點式即可求得拋物線的解析式；

（2）作解圖的輔助線，根據等腰直角三角形的判定和性質求得點的坐標，求得直線AC的解析式及與直線AC相互垂直的直線的解析式，聯立直線與拋物線的解析式即可求得點的坐標；

（3）先求得點A、B的坐標，設拋物線的表達式為，分別求得點E、F的坐標，設，求得經過A、P兩點的直線解析式，利用三角形的面積公式及二次的最值即可求得答案．

（1）如圖，過點E作軸于點G，

∵，

∴F為AE的中點，

又∵，

∴O為AC的中點，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴點E的坐標為，

∵點E為拋物線的頂點，

∴設拋物線的解析式為，

將點代入得，

解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）存在．

如圖，分別過點A、C作，分別交拋物線于點、，過點作軸于點K，過點C作軸于點J，連接CD、，過點作于點L．

由（1）得，

∴，

∵頂點，

∴拋物線的對稱軸為直線，

∵C、D兩點關對稱軸對稱，

∴，

①時，

∵，

∴∠CAJ=∠ACJ=45，

∴∠AK=90∠CAJ=45，

∴，

設的坐標為，

∴，，

∴，化簡得，

解得 ：，，

∴點的坐標為；

②當，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴

∵，

∴，

∴，

設直線AC的解析式為，直線的解析式為，

將，，代入得：

，解得

∴直線AC的解析式為，

∵，

∴，即直線的解析式，

將代入，得，

∴直線的解析式為，

聯立直線與拋物線的解析式得，

解得或（與點C重合），

∴，即點與點E重合，

綜上所述，點M的坐標為或；

（3）由（1）得，拋物線的對稱軸為直線，

∵，

∴

設拋物線的表達式為，

即，

∴，

∴，

∴點P是直線AE上方拋物線上的動點，

如圖，設，連接AP，直線AP與y軸交于點Q，

設經過A、P兩點的直線解析式為，

則，解得，

∴經過A、P兩點的直線解析式為，

∴點，

∴，

∴，

∵的面積最大值為，，

∴，

∴．