Question

【題目】如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP=OC．

（1）求∠APO+∠DCO的度數(shù)；

（2）求證：點(diǎn)P在OC的垂直平分線上．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用等邊對(duì)等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據(jù)此即可求解；

（2）根據(jù)角的關(guān)系，證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形，進(jìn)而解答即可．

（1）如圖1，連接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，

∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°

∵OP=OC，

∴OB=OC=OP，

∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；

（2）∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，

∴∠APC+∠DCP=150°，

∵∠APO+∠DCO=30°，

∴∠OPC+∠OCP=120°，

∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°，

∵OP=OC，

∴△OPC是等邊三角形，

∴OP=PC，

∴點(diǎn)P在OC的垂直平分線上．