Question

【題目】如圖①，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的點(diǎn)，連結(jié)AC并延長AC至點(diǎn)D，使CD=CA，連結(jié)ED交⊙O于點(diǎn)B．
（1）求證：點(diǎn)C是劣弧 的中點(diǎn)；
（2）如圖②，連結(jié)EC，若AE=2AC=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接CE，

∵AE是⊙O的直徑，

∴CE⊥AD，

∵AC=CD，

∴AE=ED，

∴∠AEC=∠DEC，

∴ ；

∴點(diǎn)C是劣弧 的中點(diǎn)；

（2）連接BC，OB，OC，

∵AE=2AC=4，

∴∠AEC=30°，AE=AD，

∴∠AED=60°，

∴△AED是等邊三角形，

∴∠A=60°，

∵ = ，

∴ = = ，

∴AE∥BC，∠BOC=60°，

∴S△OBC=S△EBC，

∴S陰影=S扇形= = π．

【解析】（1）連接CE，由AE是⊙O的直徑，得到CE⊥AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AEC=∠DEC，于是得到結(jié)論；（2）連接BC，OB，OC，由已知條件得到△AED是等邊三角形，得到∠A=60°，推出AE∥BC，∠BOC=60°，于是得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握圓周角定理和扇形面積計(jì)算公式是解答本題的根本，需要知道頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．