Question

8．二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經過點（-1，4），且與直線y=-$\frac{1}{2}$x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（-3，0）．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）點N是二次函數(shù)圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，是否存在點N，使得BM與NC相互垂直平分？若存在，求出所有滿足條件的N點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）令一次函數(shù)關系式中x=0、x=-3，求出點A、B的坐標，由三點的坐標利用待定系數(shù)法即可得出結論；
（2）設點N的坐標為（m，-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），則點M的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m+1），用含m的代數(shù)式表示出來MN，結合二次函數(shù)的性質即可解決最值問題；
（3）假設存在，設點N的坐標為（m，-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），連接BN、CM，當四邊形BCMN為菱形時，BM與NC相互垂直平分，根據(jù)BC=MN算出m的值，從而得出點N的坐標，再去驗證BN是否等于BC，由此即可得出結論．

解答 解：（1）令一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+1中x=0，則y=1，
∴點A的坐標為（0，1）；
令一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+1中x=-3，則y=-$\frac{1}{2}$×（-3）+1=$\frac{5}{2}$，
∴點B的坐標為（-3，$\frac{5}{2}$）．
將點A（0，1）、點B（-3，$\frac{5}{2}$）、點（-1，4）代入到y(tǒng)=ax²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{1=c}\\{\frac{5}{2}=9a-3b+c}\\{4=a-b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{17}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴二次函數(shù)的表達式為y=-$\frac{5}{4}{x}^{2}$-$\frac{17}{4}$x+1．
（2）設點N的坐標為（m，-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），則點M的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m+1），
∴MN=-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{17}{4}$m+1-（-$\frac{1}{2}$m+1）=-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{15}{4}$m=-$\frac{5}{4}$$（m+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{45}{16}$，
∴當m=-$\frac{3}{2}$時，MN取最大值，最大值為$\frac{45}{16}$．
（3）假設存在，設點N的坐標為（m，-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），連接BN、CM，如圖所示．

若要BM與NC相互垂直平分，只需四邊形BCMN為菱形即可．
∵點B坐標為（-3，$\frac{5}{2}$），點C的坐標為（-3，0），
∴BC=$\frac{5}{2}$．
∵四邊形BCMN為菱形，
∴MN=-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{15}{4}$m=BC=$\frac{5}{2}$，
解得：m₁=-2，m₂=-1．
當m=-2時，點N的坐標為（-2，$\frac{9}{2}$），
∴BN=$\sqrt{[-2-（-3）]^{2}+（\frac{9}{2}-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\frac{5}{2}$，BN≠BC，
故m=-2（舍去）；
當m=-1時，點N的坐標為（-1，4），
∴BN=$\sqrt{[-1-（-3）]^{2}+（4-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，BC=$\frac{5}{2}$，BN=BC，
∴點N（-1，4）符合題意．
故存在點N，使得BM與NC相互垂直平分，點N的坐標為（-1，4）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質以及菱形的性質，解題的關鍵是：（1）求出點A、B的坐標；（2）利用二次函數(shù)的性質解決最值問題；（3）根據(jù)菱形的性質確定點N的坐標．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大；（3）當確定下來四邊形BCMN的形狀后，問題就得以解決，解決該類型題目時，首先要想到的是將BM與NC當成對角線，根據(jù)對角線互相垂直平分能判斷出四邊形是什么形狀，再根據(jù)該形狀圖形的其他性質去解決問題．