【題目】如圖,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在線段BC上任取一點(diǎn)E,連接DE,作EF⊥DE,交直線AB于點(diǎn)F.
(1)若點(diǎn)F與B重合,求CE的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)F在線段AB上,且AF=CE,求CE的長(zhǎng).

【答案】
(1)解:當(dāng)F和B重合時(shí),

∵EF⊥DE,

∵DE⊥BC,

∵∠B=90°,

∴AB⊥BC,

∴AB∥DE,

∵AD∥BC,

∴四邊形ABED是平行四邊形,

∴AD=EF=9,

∴CE=BC﹣EF=12﹣9=3


(2)解:過(guò)D作DM⊥BC于M,

∵∠B=90°,

∴AB⊥BC,

∴DM∥AB,

∵AD∥BC,

∴四邊形ABMD是矩形,

∴AD=BM=9,AB=DM=7,CM=12﹣9=3,

設(shè)AF=CE=a,則BF=7﹣a,EM=a﹣3,BE=12﹣a,

∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°,

∴∠FEB+∠DEM=90°,∠BFE+∠FEB=90°,

∴∠BFE=∠DEM,

∵∠B=∠DME,

∴△FBE∽△EMD,

= ,

= ,

a=5,a=17,

∵點(diǎn)F在線段AB上,AB=7,

∴AF=CE=17(舍去),

即CE=5.


【解析】(1)根據(jù)題意畫出圖形,得出矩形ABEC求出BE,即可求出CE;(2)過(guò)D作DM⊥BC于M,得出四邊形ABMD是矩形,推出AD=BM=9,AB=DM=7,CM=12﹣9=3,設(shè)AF=CE=a,則BF=7﹣a,EM=a﹣3,BE=12﹣a,求出∠BFE=∠DEM,∠B=∠DME,證△FBE∽△EMD,得出比例式 = ,求出a即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了梯形的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形.兩腰相等的梯形是等腰梯形;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.

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