Question

【題目】如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點，BD是對角線．
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，請證明四邊形BEDF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

∵E、F分別為邊AB、CD的中點，

∴AE= AB，CF= CD，

∴AE=CF，

在△ADE和△CBF中，

∵ ，

∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2））證明：∵E、F分別為邊AB、CD的中點，

∴DF= DC，BE= AB，

又∵在ABCD中，AB∥CD，AB=CD，

∴DF∥BE，DF=BE，

∴四邊形DEBF為平行四邊形，

∵DB⊥BC，

∴∠DBC=90°，

∴△DBC為直角三角形，

又∵F為邊DC的中點，

∴BF= DC=DF，

又∵四邊形DEBF為平行四邊形，

∴四邊形DEBF是菱形．

【解析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分別為邊AB、CD的中點，可證得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF．（2）利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定與性質(zhì)得出四邊形DEBF為平行四邊形，進(jìn)而得出BF= DC=DF，再利用菱形的判定方法，即可得出答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定方法的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．