Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過經(jīng)過點A（2，0），點B（3，3），BC⊥x軸于點C，連接OB，等腰直角三角形DEF的斜邊EF在x軸上，點E的坐標(biāo)為（-4，0），點F與原點重合．
（1）求拋物線的解析式；
（2）△DEF以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向移動，運動時間為t秒，當(dāng)點D落在BC邊上時停止運動，
①求點D落在拋物線上時點D的坐標(biāo)；
②設(shè)△DEF與△OBC的重疊部分的面積為S，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法解出解析式；
（2）①首先由等腰直角三角形DEF的斜邊EF在x軸上，點E的坐標(biāo)為（-4，0），求得點D的縱坐標(biāo)，再代入解析式，即可求得答案；
②從三種情況分析：（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤3時，△DEF與△OBC重疊部分為等腰直角三角形；（Ⅱ）當(dāng)3＜t≤4時，△DEF與△OBC重疊部分是四邊形；（Ⅲ）當(dāng)4＜t≤5時，△DEF與△OBC重疊部分是四邊形得出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{0=4a+2b}\\{3=9a+3b}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-2，
故拋物線解析式是y=x²-2x；

（2）①∵點E的坐標(biāo)為（-4，0），
∴EF=4，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴點D的縱坐標(biāo)為2，
當(dāng)點D在拋物線上時：x²-2x=2，
解得：x₁=1+$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$，
∴點D落在拋物線上時點D的坐標(biāo)為：（1+$\sqrt{3}$，2）或（1-$\sqrt{3}$，2）；

②有3種情況：
（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤3時，△DEF與△OBC重疊部分為等腰直角三角形，如圖1：S=$\frac{1}{4}$t²；

（Ⅱ）當(dāng)3＜t≤4時，△DEF與△OBC重疊部分是四邊形，如圖2：S=-$\frac{1}{4}$t²+3t-$\frac{9}{2}$；

（Ⅲ）當(dāng)4＜t≤5時，△DEF與△OBC重疊部分是四邊形，如圖3：S=-$\frac{1}{2}$t²+3t-$\frac{1}{2}$．

點評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題．考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)以及動點問題．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．