Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，連結(jié)AC，BC．作∠APC的平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：△CED為等腰直角三角形；
（2）若∠CPA=30°，求$\frac{PD}{PE}$，$\frac{BE}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OC，根據(jù)已知條件得到∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PC，推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°；根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到$\frac{PC}{OC}=\frac{PC}{BC}=\frac{PC}{PB}$$\sqrt{3}$，由PD平分∠APC，得到∠CPD=∠DPA，推出△PCD∽△PEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PD}{PE}=\frac{BE}{CD}=\frac{PC}{PB}$=$\sqrt{3}$，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，連接OC，
∵OC=OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∵∠CPO+∠COP=90°，
∴（∠CPD+∠DPA）+（∠A+∠ACO）=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴△CED為等腰直角三角形；

（2）∵PC是切線，
∴∠OCP=90°，
∵∠APC=30°，
∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°=$\frac{PC}{OC}=\frac{PC}{BC}=\frac{PC}{PB}$$\sqrt{3}$，
∵PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，
∵∠PEB=∠CED=∠CDE=45°，
∴△PCD∽△PEB，
∴$\frac{PD}{PE}=\frac{BE}{CD}=\frac{PC}{PB}$=$\sqrt{3}$，
∵∠A=∠PCB=∠CPA=30°，
∴AC=PC=$\sqrt{3}$BC，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BE}{AC-CD}$=$\frac{BE}{\sqrt{3}BC-CE}$=$\frac{BE}{\sqrt{3}（BE+\sqrt{3}BE）-\sqrt{3}BE}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，連接OC構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．