【題目】定義:只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形,連結(jié)它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑。
(1)如圖1,損矩形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,則該損矩形的直徑是線段AC,同時我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個三角形角的特點,在公共邊的同側(cè)的兩個角是相等的。如圖1中:△ABC和△ABD有公共邊AB,在AB同側(cè)有∠ADB和∠ACB,此時∠ADB=∠ACB;再比如△ABC和△BCD有公共邊BC,在CB同側(cè)有∠BAC和∠BDC,此時∠BAC=∠BDC。請再找一對這樣的角來 =
(2)如圖2,△ABC中,∠ABC=90°,以AC為一邊向形外作菱形ACEF,D為菱形ACEF的中心,連結(jié)BD,當(dāng)BD平分∠ABC時,判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形?請說明理由。
(3)在第(2)題的條件下,若此時AB=,BD=,求BC的長。
【答案】(1)∠ABD=∠ACD;(2)四邊形ACEF為正方形,理由見解析;(3)5.
【解析】
(1)以AD為公共邊,有∠ABD=∠ACD;
(2)證明△ADC是等腰直角三角形,得AD=CD,則AE=CF,根據(jù)對角線相等的菱形是正方形可得結(jié)論;
(3)如圖2,作輔助線構(gòu)建直角三角形,證明△ABC≌△CHE,得CH=AB=3,根據(jù)平行線等分線段定理可得BG=GH=4,從而得結(jié)論.
解:(1)由圖1得:△ABD和△ADC有公共邊AD,在AD同側(cè)有∠ABD和∠ACD,此時∠ABD=∠ACD;
(2)四邊形ACEF為正方形,理由是:
∵∠ABC=90°,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=45°
∴∠DAC=∠CBD=45°
∵四邊形ACEF是菱形,
∴AELCF,
∴∠ADC=90°,
∴△ADC是等腰直角三角形,
∴AD=CD,.AE=CF,
∴菱形ACEF是正方形;
(3)如圖2,過D作DG⊥BC于G,過E作EH⊥BC,交BC的延長線于H,
∵∠DBG=45°,
∴△BDG是等腰直角三角形,BD=4,
∵BG=4,四邊形ACEF是正方形,
∴AC=CE,∠ACE=90°,AD=DE,
易得△ABC≌△CHE,
∴CH=AB=3,AB//DG//EH,AD=DE,
∴BG=GH=4,
∴CG=4-3=1,
∴BC=BG+CG=4+1=5.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,A(﹣3,0),B(0,1),形狀相同的拋物線Cn(n=1,2,3,4,…)的頂點在直線AB上,其對稱軸與x軸的交點的橫坐標(biāo)依次為2,3,5,8,13,…,根據(jù)上述規(guī)律,拋物線C2的頂點坐標(biāo)為_____;拋物線C8的頂點坐標(biāo)為_____.
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【題目】如圖,等邊△ABC的邊長為8,D、E兩點分別從頂點B、C出發(fā),沿邊BC、CA以1個單位/s、2個單位/s的速度向頂點C、A運動,DE的垂直平分線交BC邊于F點,若某時刻tan∠CDE= 時,則線段CF的長度為_____.
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【題目】如圖,下列說法中不正確的是( 。
A. ∠1與∠AOB是同一個角B. ∠AOC也可以用∠O表示
C. ∠β=∠BOCD. 圖中有三個角
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【題目】珠海市某中學(xué)在創(chuàng)建“書香校園”活動中,為了解學(xué)生的讀書情況,某校抽樣調(diào)查了部分同學(xué)在一周內(nèi)的閱讀時間,繪制如下統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)被抽查學(xué)生閱讀時間的中位數(shù)為 h,平均數(shù)為 h;
(2)若該校共有1500名學(xué)生,請你估算該校一周內(nèi)閱讀時間不少于3h的學(xué)生人數(shù).
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【題目】晨光文具店的某種毛筆每支售價30元,書法紙每本售價10元.為促銷制定了兩種優(yōu)惠方案:甲方案,買一支毛筆就送一本書法紙;乙方案,按購買的總金額打8折.某校欲為書法小組購買這種毛筆10支,書法紙x(x≥10)本.
(1)求甲方案實際付款金額元與x的函數(shù)關(guān)系式和乙方案實際付款金額元與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試通過計算為該校提供一種節(jié)約費用的購買方案.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=18,cosB=,把△ABC繞著點C旋轉(zhuǎn),使點B與AB邊上的點D重合,點A落在點E處,則線段AE的長為( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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【題目】閱讀下面材料:
小昊遇到這樣一個問題:如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,BE是AC邊上的中線,點D在BC邊上,CD:BD=1:2,AD與BE相交于點P,求的值.
小昊發(fā)現(xiàn),過點A作AF∥BC,交BE的延長線于點F,通過構(gòu)造△AEF,經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決(如圖2).請回答:的值為 .
參考小昊思考問題的方法,解決問題:
如圖 3,在△ABC中,∠ACB=90°,點D在BC的延長線上,AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點P,DC:BC:AC=1:2:3 .
(1)求的值;
(2)若CD=2,則BP=__________.
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