Question

【題目】定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連結(jié)它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑。

（1）如圖1，損矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，則該損矩形的直徑是線段AC，同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)，在公共邊的同側(cè)的兩個(gè)角是相等的。如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側(cè)有∠ADB和∠ACB，此時(shí)∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在CB同側(cè)有∠BAC和∠BDC，此時(shí)∠BAC＝∠BDC。請(qǐng)?jiān)僬乙粚?duì)這樣的角來(lái) ＝

（2）如圖2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連結(jié)BD，當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）在第（2）題的條件下，若此時(shí)AB＝，BD＝，求BC的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）∠ABD=∠ACD；（2）四邊形ACEF為正方形，理由見(jiàn)解析；（3）5.

【解析】

（1）以AD為公共邊，有∠ABD=∠ACD；

（2）證明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，則AE=CF，根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形可得結(jié)論；

（3）如圖2，作輔助線構(gòu)建直角三角形，證明△ABC≌△CHE，得CH=AB=3，根據(jù)平行線等分線段定理可得BG=GH=4，從而得結(jié)論.

解：（1）由圖1得：△ABD和△ADC有公共邊AD，在AD同側(cè)有∠ABD和∠ACD，此時(shí)∠ABD=∠ACD；

（2）四邊形ACEF為正方形，理由是：

∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=45°

∴∠DAC=∠CBD=45°

∵四邊形ACEF是菱形，

∴AELCF，

∴∠ADC=90°，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴AD=CD，.AE=CF，

∴菱形ACEF是正方形；

（3）如圖2，過(guò)D作DG⊥BC于G，過(guò)E作EH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，

∵∠DBG=45°，

∴△BDG是等腰直角三角形，BD=4，

∵BG=4，四邊形ACEF是正方形，

∴AC=CE，∠ACE=90°，AD=DE，

易得△ABC≌△CHE，

∴CH=AB=3，AB//DG//EH，AD=DE，

∴BG=GH=4，

∴CG=4-3=1，

∴BC=BG+CG=4+1=5.