Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-2，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，0)，以線(xiàn)段BC為直徑作⊙A，交y軸的正半軸于點(diǎn)D，過(guò)B、C、D三點(diǎn)作拋物線(xiàn).

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）連結(jié)BD，CD，點(diǎn)E是BD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠CDE的角平分線(xiàn)DF交⊙A于點(diǎn)F，連結(jié)CF，在直線(xiàn)BE上找一點(diǎn)P，使得△PFC的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)G，使得∠GFC=∠DCF，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由BC是直徑證得∠OCD=∠BDO,從而得到△BOD∽△DOC,根據(jù)線(xiàn)段成比例求出OD的長(zhǎng)，

設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a(x+2)(x-8),將點(diǎn)D坐標(biāo)代入即可得到解析式；

（2）利用角平分線(xiàn)求出，得到，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)（3,5），再延長(zhǎng)延長(zhǎng)CD至點(diǎn)，可使,得到(-8，8)，求出F的解析式，與直線(xiàn)BD的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P，此時(shí)△PFC的周長(zhǎng)最�。�

（3）先假設(shè)存在，①利用弧等圓周角相等把點(diǎn)D、F繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，使點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，點(diǎn)G與點(diǎn)Q重合，則Q1(7，3),符合，求出直線(xiàn)FQ1的解析式，與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)G1，②根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)Q2的坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)FQ2的解析式，與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)G2，由此證得存在點(diǎn)G.

（1）∵以線(xiàn)段BC為直徑作⊙A,交y軸的正半軸于點(diǎn)D，

∴∠BDO+∠ODC=90,

∵∠OCD+∠ODC=90,

∴∠OCD=∠BDO,

∵∠DOC=∠DOB=90,

∴△BOD∽△DOC,

∴,

∵B（-2，0)，C（8，0)，

∴,

解得OD=4(負(fù)值舍去)，∴D（0,4）

設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a(x+2)(x-8),

∴4=a(0+2)(0-8),

解得a=，

∴二次函數(shù)的解析式為y=(x+2)(x-8),即.

（2）∵BC為⊙A的直徑，且B（-2，0)，C（8，0)，

∴OA=3,A(3,0),

∴點(diǎn)E是BD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠CDE的角平分線(xiàn)DF交⊙A于點(diǎn)F，

∴,

連接AF，則,

∵OA=3，AF=5

∴F(3，5)

∵∠CDB=90,

∴延長(zhǎng)CD至點(diǎn)，可使,

∴(-8，8)，

連接F叫BE于點(diǎn)P，再連接PF、PC，

此時(shí)△PFC的周長(zhǎng)最短，

解得F的解析式為，

BD的解析式為y=2x+4,

可得交點(diǎn)P.

（3）存在；假設(shè)存在點(diǎn)G，使∠GFC=∠DCF，

設(shè)射線(xiàn)GF交⊙A于點(diǎn)Q,

①∵A(3，0),F(3，5),C(8，0),D(0，4),

∴把點(diǎn)D、F繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，使點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，點(diǎn)G與點(diǎn)Q重合，則Q1(7，3),符合，

∵F(3，5),Q1(7，3),

∴直線(xiàn)FQ1的解析式為，

解，得，（舍去），

∴G1；

②Q1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q2(7，-3),符合，

∵F(3，5),Q2(7，3),

∴直線(xiàn)FQ2的解析式為y=-2x+11,

解，得，（舍去），

∴G2

綜上，存在點(diǎn)G或，使得∠GFC=∠DCF.