Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點F．

（1）求證：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，當四邊形ADFC是菱形時，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BF＝．

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形ABC與三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到兩對邊相等，一對角相等，利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可；

（2）根據(jù)∠BAC＝45°，四邊形ADFC是菱形，得到∠DBA＝∠BAC＝45°，再由AB＝AD，得到三角形ABD為等腰直角三角形，求出BD的長，由BD﹣DF求出BF的長即可．

解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，

∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，

在△AEC和△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，

∴∠DBA＝∠BAC＝45°，

由（1）得：AB＝AD，

∴∠DBA＝∠BDA＝45°，

∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形，

∴BD2＝2AB2，即BD＝2，

∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，

∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2．