【題目】如圖所示,拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式.
(2)如圖,直線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E,作DF平行x軸交直線BC于點(diǎn)F,求△DEF周長(zhǎng)的最大值.
(3)已知點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)N是y軸上一點(diǎn),點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn),且位于拋物線對(duì)稱軸的右側(cè),是否存在以點(diǎn)P,M,N,Q為頂點(diǎn)且以PM為邊的正方形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)△DEF周長(zhǎng)的最大值為;(3)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或.
【解析】
(1)把A,B兩點(diǎn)代入求出解析式即可;
(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得,可得△DEF周長(zhǎng)=DE+EF+DF=,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為:,求出最大值即可;
(3)分兩種情況討論,由正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求解.
解:(1)∵物線y=ax2+bx-3與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),
∴
解得:,
∴解析式為:;
(2)∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C,
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,-3),
∴直線BC解析式為:y=x-3,
∵點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)C(0,-3),
∴OB=OC=3,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∵DF∥AB,
∴∠EFD=45°=∠OBC,
∵DE⊥BC,
∴∠EFD=∠EDF=45°,
∴DE=EF,
∴
∴
∴△DEF周長(zhǎng)=DE+EF+DF=
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為:,
∴DF=,
∴當(dāng)時(shí),DF有最大值為,
∴△DEF周長(zhǎng)=;
(3)存在,
如圖1,過(guò)點(diǎn)M作GH⊥OC,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥GH,連接MN,PM,
∵拋物線的解析式為,
∴點(diǎn)M(1,4),
∵以點(diǎn)P、M、N、Q為頂點(diǎn)且以PM為邊的正方形,
∴PM=MN,∠PMN=90°,
∴∠PMH+∠NMG=90°,且∠PMH+∠MPH=90°,
∴∠NMG=∠MPH,且MN=PM,∠H=∠NGM=90°,
∴△MNG≌△PMH(AAS),
∴GM=PH=1,
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3,
∴,
∴x=0(不合題意舍去),x=2,
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,
如圖2,過(guò)點(diǎn)P作GH⊥AB,過(guò)點(diǎn)N作NG⊥GH,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥GH,
∴△NGP≌△PHM,
可得NG=PH,GP=MH,
設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m,(m>1)
∴NG=PH=m,
∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為-4+m,
∴,
∴或(舍去),
綜上所述:點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某電信公司提供了A,B兩種方案的移動(dòng)通訊費(fèi)用y(元)與通話時(shí)間x(元)之間的關(guān)系,則下列結(jié)論中正確的有( 。
(1)若通話時(shí)間少于120分,則A方案比B方案便宜20元;
(2)若通話時(shí)間超過(guò)200分,則B方案比A方案便宜12元;
(3)若通訊費(fèi)用為60元,則B方案比A方案的通話時(shí)間多;
(4)若兩種方案通訊費(fèi)用相差10元,則通話時(shí)間是145分或185分.
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F是CD上一點(diǎn),AE⊥EF.有下列結(jié)論:①∠BAE=30°;②射線FE是∠AFC的角平分線;③AE2=ADAF;④AF=AB+CF.其中正確結(jié)論為是______.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F.
(1)求證:△AEC≌△ADB;(2)若AB=2,∠BAC=45°,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí),求BF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1).
(1)畫(huà)出△ABC向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度所得的△A1B1C1;寫(xiě)出C1點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)畫(huà)出將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°所得的△A2B2C2;寫(xiě)出C2點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下求點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),AC平分∠DAB,直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,AD與PC延長(zhǎng)線垂直,垂足為點(diǎn)D,CE平分∠ACB,交AB于點(diǎn)F,交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:PC與⊙O相切;
(2)求證:PC=PF;
(3)若AC=8,tan∠ABC=,求線段BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校七年級(jí)計(jì)劃成立學(xué)生社團(tuán),要求每一位學(xué)生都選擇一個(gè)社團(tuán)而且只能選擇一個(gè)社團(tuán).為了解學(xué)生對(duì)不同社團(tuán)的選擇意向,隨機(jī)抽取了七年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行“我最喜愛(ài)的社團(tuán)”問(wèn)卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.
七年級(jí)部分學(xué)生“我最喜愛(ài)的社團(tuán)”調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)表
社團(tuán)名稱 | 人數(shù) |
文學(xué)社團(tuán) | 4 |
創(chuàng)客社團(tuán) | 9 |
書(shū)法社團(tuán) | |
繪畫(huà)社團(tuán) | 6 |
體育社團(tuán) | 10 |
音樂(lè)社團(tuán) | 5 |
美食社團(tuán) | |
數(shù)學(xué)社團(tuán) | 2 |
七年級(jí)部分學(xué)生“我最喜愛(ài)的社團(tuán)”調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖
請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)______,______.
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“繪畫(huà)社團(tuán)”所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為______度.
(3)該校七年級(jí)共有350名學(xué)生,每個(gè)社團(tuán)人數(shù)不低于30人才可以開(kāi)展.試通過(guò)計(jì)算估計(jì)該校七年級(jí)有哪些社團(tuán)可以開(kāi)展.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】課外閱讀是提高學(xué)生素養(yǎng)的重要途徑.某中學(xué)為了了解全校學(xué)生課外閱讀情況,隨機(jī)抽查了200名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)他們平均每天課外閱讀時(shí)間(小時(shí)).根據(jù)每天課外閱讀時(shí)間的長(zhǎng)短分為A,B,C.D四類(lèi),下面是根據(jù)所抽查的人數(shù)繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下面的問(wèn)題:
200名學(xué)生平均每天課外閱讀時(shí)間統(tǒng)計(jì)表
類(lèi)別 | 時(shí)間t(小時(shí)) | 人數(shù) |
A | t<0.5 | 40 |
B | 0.5≤t<1 | 80 |
C | 1≤t<1.5 | 60 |
D | t≥1.5 | a |
(1)求表格中a的值,并在圖中補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖:
(2)該,F(xiàn)有1800名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校共有多少名學(xué)生課外閱讀時(shí)間不少于1小時(shí)?
(3)請(qǐng)你根據(jù)上述信息對(duì)該校提出相應(yīng)的建議
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的頂點(diǎn)為,交軸于點(diǎn),(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)),點(diǎn)在第一象限,且在拋物線部分上,交軸于點(diǎn).
(1)求該拋物線的表達(dá)式.
(2)若,求的長(zhǎng).
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