Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖，直線BC下方的拋物線上有一點D，過點D作DE⊥BC于點E，作DF平行x軸交直線BC于點F，求△DEF周長的最大值．

（3）已知點M是拋物線的頂點，點N是y軸上一點，點Q是坐標平面內一點，若點P是拋物線上一點，且位于拋物線對稱軸的右側，是否存在以點P，M，N，Q為頂點且以PM為邊的正方形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△DEF周長的最大值為；（3）點P的橫坐標為2或.

【解析】

（1）把A，B兩點代入求出解析式即可；

（2）由等腰直角三角形的性質可得，可得△DEF周長=DE+EF+DF=，設點D的坐標為，則點F的坐標為：，求出最大值即可；

（3）分兩種情況討論，由正方形的性質和全等三角形的性質可求解．

解：（1）∵物線y=ax2+bx-3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，

∴

解得：，

∴解析式為：；

（2）∵拋物線與y軸交于點C，

∴點C坐標為（0，-3），

∴直線BC解析式為：y=x-3，

∵點B（3，0），點C（0，-3），

∴OB=OC=3，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵DF∥AB，

∴∠EFD=45°=∠OBC，

∵DE⊥BC，

∴∠EFD=∠EDF=45°，

∴DE=EF，

∴

∴

∴△DEF周長=DE+EF+DF=

設點D的坐標為，則點F的坐標為：，

∴DF=，

∴當時，DF有最大值為，

∴△DEF周長=；

（3）存在，

如圖1，過點M作GH⊥OC，過點P作PH⊥GH，連接MN，PM，

∵拋物線的解析式為，

∴點M（1，4），

∵以點P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形，

∴PM=MN，∠PMN=90°，

∴∠PMH+∠NMG=90°，且∠PMH+∠MPH=90°，

∴∠NMG=∠MPH，且MN=PM，∠H=∠NGM=90°，

∴△MNG≌△PMH（AAS），

∴GM=PH=1，

∴點P的縱坐標為-3，

∴，

∴x=0（不合題意舍去），x=2，

∴點P的橫坐標為2，

如圖2，過點P作GH⊥AB，過點N作NG⊥GH，過點M作MH⊥GH，

∴△NGP≌△PHM，

可得NG=PH，GP=MH，

設點P橫坐標為m，（m＞1）

∴NG=PH=m，

∴點P縱坐標為-4+m，

∴，

∴或（舍去），

綜上所述：點P的橫坐標為2或.