【題目】如圖,已知一次函數(shù)y1=kx+b與反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象分別交于點(diǎn)A(2,4)和點(diǎn)B(4,n),與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求y1<y2時(shí),自變量x的取值范圍;
(3)若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y2=,y1=﹣x+6;(2)0<x<2或x>4;(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,0)或(2,0).
【解析】
(1)先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y2=中求出m得到反比例函數(shù)解析式為y2=,再利用反比例函數(shù)解析式確定B點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;
(2)在第一象限內(nèi),寫出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可;
(3)設(shè)P(t,0),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到PA2=(t﹣2)2+42,PB2=(t﹣4)2+22,AB2=(4﹣2)2+(2﹣4)2,討論:根據(jù)勾股定理,當(dāng)∠PAB=90°時(shí),t2﹣4t+20+8=t2﹣8t+20;當(dāng)∠PBA=90°時(shí),t2﹣8t+20+8=t2﹣4t+20;當(dāng)∠APB=90°時(shí),t2﹣4t+20+t2﹣8t+20=8,然后分別解關(guān)于t的方程可得到P點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)把A(2,4)代入y2=得m=2×4=8,
∴反比例函數(shù)解析式為y2=,
把B(4,n)代入y2=得4n=8,解得n=2,則B(4,2),
把A(2,4)和B(4,2)代入y1=kx+b得,
解得,
∴一次函數(shù)解析式為y1=﹣x+6;
(2)根據(jù)函數(shù)圖象可得:當(dāng)0<x<2或x>4時(shí),y1<y2;
(3)設(shè)P(t,0),
∵A(2,4),B(4,2)
∴PA2=(t﹣2)2+42=t2﹣4t+20,PB2=(t﹣4)2+22=t2﹣8t+20,AB2=(4﹣2)2+(2﹣4)2=8,
當(dāng)∠PAB=90°時(shí),PA2+AB2=PB2,即t2﹣4t+20+8=t2﹣8t+20,解得t=﹣2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,0),
當(dāng)∠PBA=90°時(shí),PB2+AB2=PA2,即t2﹣8t+20+8=t2﹣4t+20,解得t=2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),
當(dāng)∠APB=90°時(shí),PA2+PB2=AB2,即t2﹣4t+20+t2﹣8t+20=8,整理得t2﹣6t+16=0,方程沒有實(shí)數(shù)解,
綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,0)或(2,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,D是CB延長線上一點(diǎn),以BD為邊向上作等邊三角形EBD,連接AD,若AD=11,且∠ABE=2∠ADE,則tan∠ADE的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,n).
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)根據(jù)圖象,直接寫出滿足k1x+b>的x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著,它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.其中有一個(gè)問題:“今有二馬、一牛價(jià)過-萬,如半馬之價(jià):一馬、二牛價(jià)不滿一萬,如半牛之價(jià).問牛、馬價(jià)各幾何?”其大意為:現(xiàn)有兩匹馬加一頭牛的價(jià)錢超過一萬,超過的部分正好是半匹馬的價(jià)錢:一匹馬加上兩頭牛的價(jià)錢則不到一萬,不足的部分正好是半頭牛的價(jià)錢.問一頭牛、一匹馬各多少錢?設(shè)一匹馬值錢、一頭牛值錢,則符合題意的方程組為( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn),連接DE,將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α,BD、CE所在直線相交所成的銳角為β.
(1)問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)α=0°時(shí),=_____;β=_____°.
(2)拓展探究
試判斷:當(dāng)0°≤α<360°時(shí),和β的大小有無變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明.
(3)在△ADE旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)DE∥AC時(shí),直接寫出此時(shí)△CBE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某微商銷售的某商品每袋成本20元,設(shè)銷售價(jià)格為x(單位:元/袋),該微商發(fā)現(xiàn)銷售量y與銷售價(jià)格x之間的關(guān)系如表:
銷售價(jià)格x(元/袋) | 25 | 30 | 35 | 40 |
銷售件數(shù)y | 275 | 250 | 225 | 200 |
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)根據(jù)物價(jià)部門的規(guī)定,商品的利潤率不能超過100%,該微商應(yīng)該如何定價(jià),才能使獲得的利潤最大,最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC邊上的兩點(diǎn),且滿足∠DBE=∠ABC(0°<∠CBE<∠ABC).以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心,將△BEC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC,得到△BE′A(點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)E到點(diǎn)E′處),連接DE′.求證:DE′=DE;
(2)如圖2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D,E是AC邊上的兩點(diǎn),
且滿足∠DBE=∠ABC(0°<∠CBE<45°) .求證:DE2=AD2+EC2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系,直線與y軸交于點(diǎn)A,與雙曲線交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及k的值;
(2)將直線AB平移,使它與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,若的面積為6,求直線CD的表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為的直徑,,點(diǎn)為圓上一點(diǎn),將劣弧沿弦翻折交于點(diǎn),則劣弧的弧長是_______.
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