【題目】(1)如圖1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC邊上的兩點(diǎn),且滿足∠DBE=∠ABC(0°<∠CBE<∠ABC).以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心,將△BEC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC,得到△BE′A(點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)E到點(diǎn)E′處),連接DE′.求證:DE′=DE;
(2)如圖2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D,E是AC邊上的兩點(diǎn),
且滿足∠DBE=∠ABC(0°<∠CBE<45°) .求證:DE2=AD2+EC2.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得BE′=BE,∠E’BA=∠EBC,由已知∠DBE=∠ABC經(jīng)等量代換可得∠E′BD=∠DBE,從而可由SAS得△E’BD≌△EBD,得到DE′=DE;
(2)由(1)的啟示,作如(1)的輔助圖形,即可得到直角三角形DE′A,根據(jù)勾股定理即可證得結(jié)論.
解:(1)∵△BE′A是△BEC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC得到,
∴BE′=BE,∠E′BA=∠EBC.
∵∠DBE=∠ABC,∴∠ABD+∠EBC =∠ABC.
∴∠ABD+∠E′BA =∠ABC,即∠E′BD=∠ABC.∴∠E′BD=∠DBE.
在△E′BD和△EBD中,∵BE′=BE,∠E’BD=∠DBE,BD=BD,
∴△E′BD≌△EBD(SAS).
∴DE′=DE.
(2)以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心,將△BEC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC=90°,得到△BE′A(點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)E到點(diǎn)E′處),連接DE′.
由(1)知DE′=DE.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),知E′A=EC,∠E′ AB=∠ECB.
又∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠ACB=45°.
∴∠E′AD=∠E′AB+∠BAC=90°.
在Rt△DE′A中,DE′2=AD2+E′A2,
∴DE2=AD2+EC2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將正方形折疊,使頂點(diǎn)與邊上的一點(diǎn)重合(不與端點(diǎn),重合),折痕交于點(diǎn),交于點(diǎn),邊折疊后與邊交于點(diǎn),設(shè)正方形的周長為,的周長為,則的值為( )
A.B.C.D.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年3月24日,工信部發(fā)布《關(guān)于推動(dòng)加快發(fā)展的通知》,全力推進(jìn)網(wǎng)絡(luò)建設(shè)、應(yīng)用推廣、技術(shù)發(fā)展和安全保障.工信部提出,要培育新型消費(fèi)模式,加快用戶向遷移,推動(dòng)“醫(yī)療健康”創(chuàng)新發(fā)展,實(shí)施“工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)”512工程,促進(jìn)“車聯(lián)網(wǎng)”協(xié)同發(fā)展,構(gòu)建應(yīng)用生態(tài)系統(tǒng).現(xiàn)“網(wǎng)絡(luò)”已成為一個(gè)熱門詞匯,某校為了解九年級(jí)學(xué)生對(duì)“網(wǎng)絡(luò)”的了解程度,對(duì)九年級(jí)學(xué)生行了一次測試(一共10道題答對(duì)1道得1分,滿分10分),測試結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績整理分析,繪制出如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,扇形統(tǒng)計(jì)圖中 __;
(2)所調(diào)查學(xué)生成績的眾數(shù)是_ ____分,平均數(shù)是_ 分;
(3)若該校九年級(jí)學(xué)生有人,請(qǐng)估計(jì)得分不少于分的有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y1=kx+b與反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象分別交于點(diǎn)A(2,4)和點(diǎn)B(4,n),與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求y1<y2時(shí),自變量x的取值范圍;
(3)若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+3x﹣a2+a+2(a>1)的圖象交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為E.
(1)如圖1,求線段AB的長度(用含a的式子表示)及拋物線的對(duì)稱軸;
(2)如圖2,當(dāng)拋物線的圖象經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使得以A、B、E、P為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形?如果能,求出P點(diǎn)坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)說明理由;
(3)如圖3,當(dāng)a=3時(shí),若M點(diǎn)為x軸上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)MC,將線段MC繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN,連結(jié)AC、CN、AN,則△ACN周長的最小值為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn),AC⊥x軸于點(diǎn)M,交直線y=﹣x于點(diǎn)N.若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠APB=30°,BA⊥PA,則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A點(diǎn)不變,B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng).求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí),點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,連接AC,BD交于點(diǎn)M.填空:
①的值為 ;
②∠AMB的度數(shù)為 .
(2)類比探究
如圖2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,連接AC交BD的延長線于點(diǎn)M.請(qǐng)判斷的值及∠AMB的度數(shù),并說明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的條件下,將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點(diǎn)M,若OD=1,OB=,請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作射線的垂線,垂足為點(diǎn),連接.設(shè),.小石根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)隨自變量的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.下面是小石的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測量,得到了與的幾組值,如表:
(說明:補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)據(jù)保留一位小數(shù))
(2)建立平面直角坐標(biāo)系,描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí),的長度約為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明早上勻速騎車去上學(xué),出發(fā)幾分鐘后,爸爸發(fā)現(xiàn)小明的作業(yè)本丟在家里,趕緊勻速騎車去追.爸爸剛出發(fā)時(shí),小明也發(fā)現(xiàn)作業(yè)本丟在家里,立刻按原路原速返回, 后遇到爸爸,爸爸把作業(yè)本交給小明后立刻按原路原速返回家,小明繼續(xù)按原速騎車趕往學(xué)校.小明和爸爸相距的路程與小明出發(fā)的時(shí)間之間的關(guān)系如圖所示(爸爸給小明作業(yè)本的時(shí)間忽略不計(jì)).下列說法中,錯(cuò)誤的是( )
A.小明的騎車速度為B.爸爸騎車的速度是小明的倍
C.點(diǎn)坐標(biāo)為D.爸爸返回家時(shí),小明共騎行了
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