【題目】如圖1,點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點(diǎn),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時出發(fā),且它們的速度都為1cm/s,
(1)連接AQ、CP交于點(diǎn)M,則在P、Q運(yùn)動的過程中,∠CMQ變化嗎?若變化,則說明理由,若不變,則求出它的度數(shù);
(2)何時△PBQ是直角三角形?
(3)如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動,直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠CMQ變化嗎?若變化,則說明理由,若不變,則求出它的度數(shù).

【答案】
(1)解:∠CMQ=60°不變.

∵等邊三角形中,AB=AC,∠B=∠CAP=60°

又由條件得AP=BQ,

∴△ABQ≌△CAP(SAS),

∴∠BAQ=∠ACP,

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°


(2)解:設(shè)時間為t,則AP=BQ=t,PB=4﹣t

①當(dāng)∠PQB=90°時,

∵∠B=60°,

∴PB=2BQ,得4﹣t=2t,t= ;

②當(dāng)∠BPQ=90°時,

∵∠B=60°,

∴BQ=2BP,得t=2(4﹣t),t= ;

∴當(dāng)?shù)? 秒或第 秒時,△PBQ為直角三角形


(3)解:∠CMQ=120°不變.

∵在等邊三角形中,BC=AC,∠B=∠CAP=60°

∴∠PBC=∠ACQ=120°,

又由條件得BP=CQ,

∴△PBC≌△QCA(SAS)

∴∠BPC=∠MQC

又∵∠PCB=∠MCQ,

∴∠CMQ=∠PBC=180°﹣60°=120°


【解析】(1)因為點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時出發(fā),且它們的速度都為1cm/s,所以AP=BQ.AB=AC,∠B=∠CAP=60°,因而運(yùn)用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP.再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關(guān)系、三角形的外角定理,可求得CQM的度數(shù).(2)設(shè)時間為t,則AP=BQ=t,PB=4﹣t.分別就①當(dāng)∠PQB=90°時;②當(dāng)∠BPQ=90°時利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值.(3)首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA,再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到∠BPC=∠MQC.再運(yùn)用三角形角間的關(guān)系求得∠CMQ的度數(shù).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題.

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甲:購買樹苗數(shù)量不超過500棵時,銷售單價為800棵;超過500棵的部分,銷售單價為700棵.

乙:購買樹苗數(shù)量不超過1000棵時,銷售單價為800棵;超過1000棵的部分,銷售單價為600棵.

設(shè)購買銀杏樹苗x棵,到兩家購買所需費(fèi)用分別為元、

(1)該景區(qū)需要購買800棵銀杏樹苗,若都在甲家購買所要費(fèi)用為______元,若都在乙家購買所需費(fèi)用為______元;

(2)當(dāng)時,分別求出、x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)如果你是該景區(qū)的負(fù)責(zé)人,購買樹苗時有什么方案,為什么?

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(1)當(dāng)t為何值時,射線OCOD重合;

(2)當(dāng)t為何值時,∠COD=90°;

(3)試探索:在射線OCOD旋轉(zhuǎn)的過程中,是否存在某個時刻,使得射線OCOBOD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線?若存在,請求出所有滿足題意的t的取值,若不存在,請說明理由.

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