Question

【題目】如圖，∠AOB=120°，射線(xiàn)OC從OA開(kāi)始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每分鐘20°；射線(xiàn)OD從OB開(kāi)始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每分鐘5°，OC和OD同時(shí)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t（0≤t≤15）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，射線(xiàn)OC與OD重合；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，∠COD=90°；

（3）試探索：在射線(xiàn)OC與OD旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線(xiàn)OC，OB與OD中的某一條射線(xiàn)是另兩條射線(xiàn)所夾角的角平分線(xiàn)？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足題意的t的取值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=8min時(shí)，射線(xiàn)OC與OD重合；

（2）當(dāng)t=2min或t=14min時(shí)，射線(xiàn)OC⊥OD；

（3）存在，詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）當(dāng)OC與OD重合時(shí)，根據(jù)角度關(guān)系可知∠AOC=∠AOB+∠BOD，利用題中射線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)速度，由角度=時(shí)間×旋轉(zhuǎn)速度，列出方程，求解即可得到射線(xiàn)OC與OD重合時(shí)的時(shí)間t；

（2）當(dāng)∠COD=90°時(shí)，可分為兩種情況，當(dāng)OC位于OD的右邊時(shí)：∠BOD+120°=∠AOC+90°；當(dāng)OC位于OD左邊時(shí)：∠AOC-90°-120°=∠BOD，列出對(duì)應(yīng)的方程，求解即可；

（3）分三種情況來(lái)考慮，當(dāng)OB為角平分線(xiàn)時(shí)：120°-∠AOC=∠BOD；當(dāng)OC為角平分線(xiàn)時(shí)：∠AOC-120°=∠BOD；當(dāng)OD為角平分線(xiàn)時(shí)：∠AOC-120°=2∠BOD，列方程求解即可.

解：（1）由題意得，20t=5t+120°，解得t=8，

即當(dāng)t=8分鐘時(shí)，射線(xiàn)OC與OD重合；

（2）當(dāng)OC位于OD的右邊時(shí)：∠BOD+120°=∠AOC+90°，則可得5t+120°=20t+90°，解得t=2分鐘；

當(dāng)OC位于OD左邊時(shí)：∠AOC-90°-120°=∠BOD，則可得20t-90°-120°=5t，解得t=14分鐘；

故當(dāng)t=2或14分鐘時(shí)，∠COD=90°；

（3）存在.

當(dāng)OB為角平分線(xiàn)時(shí)：120°-∠AOC=∠BOD，則可得120°-20t=5t，解得t=4.8分鐘；

當(dāng)OC為角平分線(xiàn)時(shí)：∠AOC-120°=∠BOD，則可得20t-120°=×5t，解得t=分鐘；

當(dāng)OD為角平分線(xiàn)時(shí)：∠AOC-120°=2∠BOD，則可得20t -120°=2×5t，解得t=12分鐘.

故當(dāng)t=4.8或或12分鐘時(shí)，射線(xiàn)OC，OB與OD中的某一條射線(xiàn)是另兩條射線(xiàn)所夾角的角平分線(xiàn).