Question

【題目】正方形中，M為邊CB延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AM，設(shè)∠BAM=α，點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AE、DE，DE交AM于點(diǎn)N．

（1）依題意補(bǔ)全圖形；當(dāng)α=30°時(shí)， 直接寫出∠AND的度數(shù)；

（2）當(dāng)α發(fā)生變化時(shí)，∠AND的度數(shù)是否發(fā)生變化？說明理由；

（3）探究線段AN，EN，DN的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）∠AND=45 ° ；（2）∠AND的度數(shù)不發(fā)生變化，理由見解析；（3）DN=.理由見解析.

【解析】

（1）依題意補(bǔ)全圖形，由正方形的性質(zhì)得出∠BAD＝90°，AB＝AD，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出AE＝AB，∠BAM＝∠EAM＝α＝30°，得出∠EAD＝150°，AE＝AB＝AD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠AED＝∠ADE＝15°，即可得出結(jié)果；

（2）求出∠EAD＝90°＋2α．由等腰三角形的性質(zhì)得出∠AED＝∠ADE＝45°α．即可得出結(jié)果；

（3）過點(diǎn) A作AG⊥AM，交DE 于點(diǎn)G，連接BN，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出AB＝AE，∠BAN＝∠EAN，證明△ABN≌△AEN得出BN＝EN，∠AED＝∠ABN，證出∠ABN＝∠ADE，得出∠BAN＝∠DAG，證明△ABN≌△ADG得出BN＝DG，AN＝AG，得出△ANG 為等腰直角三角形，EN＝BN＝DG，即可得出結(jié)論．

解：（1）依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∵點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，

∴AE＝AB，∠BAM＝∠EAM＝α＝30°，

∴∠EAD＝90°＋30°＋30°＝150°，AE＝AB＝AD，

∴∠AED＝∠ADE＝（180°150°）＝15°，

∴∠AND＝∠EAN＋∠AED＝30°＋15°＝45°；

（2）∠AND的度數(shù)不發(fā)生變化；

理由如下：

∵∠BAM＝∠EAM＝α，

∴∠EAD＝90°＋2α．

∵AE＝AB＝AD，

∴∠AED＝∠ADE＝＝45°α．

∴∠AND＝∠EAN＋∠AED＝45°α＋α＝45°；

（3）DN＝AN＋EN，

理由如下：

過點(diǎn) A作AG⊥AM，交DE 于點(diǎn)G，連接BN，如圖2所示：

∵點(diǎn)B 與 點(diǎn)E關(guān)于直線AM對(duì)稱，

∴AB＝AE，∠BAN＝∠EAN，

在△ABN和△AEN中，，

∴△ABN≌△AEN（SAS），

∴BN＝EN，∠AED＝∠ABN

∵∠AED＝∠ADE，

∴∠ABN＝∠ADE，

∵∠BAD＝∠GAN＝90°，

∴∠BAN＝∠DAG，

在△ABN和△ADG中，，

∴△ABN≌△ADG（ASA），

∴BN＝DG，AN＝AG，

∴△ANG 為等腰直角三角形，EN＝BN＝DG，

∴NG＝AN，

∴DN＝AN＋EN．