Question

【題目】背景材料：

在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型，它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．通過資料查詢，他們知道這種模型稱為手拉手模型．

例如：如圖1，兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作是小手，大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似大手拉著小手，這個(gè)就是手拉手模型，在這個(gè)模型中易得到△ABD≌△ACE．

學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究：

（1）如圖2，已知△ABC，以AB，AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，請(qǐng)作出一個(gè)手拉手圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并連接BE，CD，證明BE＝CD；

（2）小剛同學(xué)發(fā)現(xiàn)，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，將三角形ADE旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖3），連接CE和BD，證明△ABD∽△ACE．

學(xué)以致用：

（3）如圖4，四邊形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12．請(qǐng)?jiān)趫D中構(gòu)造小剛發(fā)現(xiàn)的手拉手模型求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析，證明見解析；（2）見解析；（3） .

【解析】

（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，可得∠DAC＝∠BAE，即可證△DAC≌△BAE，可得BD＝CE；

（2）通過證明△ADE∽△ABC，可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DAE，即可得結(jié)論；

（3）過點(diǎn)A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，連接CE，則∠EDC＝90°，通過證明△AEC∽△ADB，可得 ，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求AE，DE，EC的長(zhǎng)，即可求BD的長(zhǎng)．

（1）作圖

∵△ABD和△ACE都是等邊三角形

∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE

∴△DAC≌△BAE（SAS）

∴BE＝CD

（2）如圖，

在第一個(gè)圖中，∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴

∵將三角形ADE旋轉(zhuǎn)一定的角度

∴∠BAC＝∠DAE

∴∠BAD＝∠CAE，且

∴△ABD∽△ACE；

（3）如圖，過點(diǎn)A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，連接CE，則∠EDC＝90°，

∵∠AED＝∠ACB＝α，∠CAB＝∠DAE＝90°

∴△AED∽△ACB

∴

∵∠CAB＝∠DAE＝90°

∴∠CAE＝∠DAB，且

∴△AEC∽△ADB

∴

∵△AED∽△ACB

∴∠ADE＝∠ABC

∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ADC＝∠ACB

∴∠ADC+∠ADE＝90°

∴∠EDC＝90°

∵tanα＝，AD＝12．

∴AE＝16

∴DE＝ ＝20

∴EC＝

∵

∴BD＝