Question

把邊長(zhǎng)為l5的等邊△ABC折疊，使點(diǎn)A落在直線(xiàn)BC的點(diǎn)D處，且BD：DC=1：4，設(shè)折痕為MN，點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)N在直線(xiàn)AC上，則AN的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專(zhuān)題：探究型

分析：此題要分兩種情況進(jìn)行討論：：①當(dāng)點(diǎn)A落在線(xiàn)段BC上時(shí)；②當(dāng)A在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，首先證明△BMD∽△CDN．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

BD

CN

=

DM

DN

=

BM

CD

，再設(shè)AN=x，則CN=15-x，然后利用含x的式子表示DM、BM，根據(jù)BM+DM=15列出方程，解出x的值可得答案．

解答：解：①當(dāng)點(diǎn)A落在如圖1所示的位置時(shí)，
∵△ACB是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，
∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，
∴∠BMD=∠NDC，
∴△BMD∽△CDN．
∴

BD

CN

=

DM

DN

=

BM

CD

，
∵DN=AN，
∴

BD

CN

=

DM

AN

=

BM

CD

，
∵BD：DC=1：4，BC=15，
∴DB=3，CD=12，
設(shè)AN=x，則CN=15-x，
∴

3

15-x

=

DM

x

=

BM

12

，
∴DM=

3x

15-x

，BM=

36

15-x

，
∵BM+DM=15，
∴

3x

15-x

+

36

15-x

=15
解得x=10.5，
∴AN=10.5；

②當(dāng)A在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，
與①同理可得△BMD∽△CDN．
∴

BD

CN

=

DM

DN

=

BM

CD

，
∵BD：DC=1：4，BC=15，
∴DB=5，CD=20，
設(shè)AN=x，則CN=x-15，
∴

5

x-15

=

DM

x

=

BM

20

，
∴DM=

5x

x-15

，BM=

100

x-15

，
∵BM+DM=15，
∴

5x

x-15

+

100

x-15

=15，
解得：x=32.5，
∴AN=32.5．
故答案為：10.5或32.5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換，關(guān)鍵是證明△BMD∽△CDN得到

BD

CN

=

DM

DN

=

BM

CD

，再利用含AN的式子表示DM、BM．