Question

【題目】已知平而直角坐標(biāo)系xOy（如圖），二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖像經(jīng)過(guò)A(-2，0)、

B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn).

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）如果點(diǎn)E在線段OC上，且∠CBE=∠ACO，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M在y軸上，且位于點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線BC上，點(diǎn)P為上述二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上的點(diǎn)，如果以C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或 M（0，6）

【解析】分析：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可.

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn) 在Rt△COB中，得出CH=EH.

在Rt△EBH中，. 設(shè) 則 CH=k，.

列方程求解即可.

分3種情況進(jìn)行討論①當(dāng)為菱形的邊時(shí)，②當(dāng)為菱形的邊時(shí)，

③當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，分別求解即可.

詳解：（1）∵ 拋物線與軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），

∴

解得

∴ 拋物線的解析式為

（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

在Rt△ACO中， ∵A（-2，0），∴ OA=2，

當(dāng)時(shí) ∴OC=4，

在Rt△COB中，∵∠COB=90°，OC=OB=4，

∴.

∵，∴CH=EH.

∴在Rt△ACO中，，

∵∠CBE=∠ACO，∴在Rt△EBH中，.

設(shè) 則 CH=k，.

∴.

∴

∴

∴∴

（3）∵

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線

①當(dāng)為菱形的邊時(shí)，

∴

∵點(diǎn)P在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，

∴.

∵四邊形是菱形，∴

∴

∴.

②當(dāng)為菱形的邊時(shí)，不存在，

③當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，

設(shè)交于點(diǎn)

∴互相垂直平分，

∴.

∵點(diǎn)在直線上，

在中，

∴∴

∴∴

∴

∴綜上所述或 M（0，6）.