Question

問題情境：如圖①，已知在△ABC中，AB=AC，D為AC邊的中點(diǎn)，連接BD，則圖中有兩個(gè)直角三角形，不需要證明．
特例探究：如圖②，已知在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D為AC邊的中點(diǎn)，連接BD，判斷△ABD是什么三角形，并說明理由．
歸納證明：如圖③，已知在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D為AC邊的中點(diǎn)，連接BD，把Rt△DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上，DE交AB于M，DF交BC于N．證明：DM=DN．
拓展應(yīng)用：如圖③，已知在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D為AC邊的中點(diǎn)，連接BD，把Rt△DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上，DE交AB于M，DF交BC于N．請直接寫出Rt△DEF與△ABC的重疊部分（四邊形DMBN）的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三線合一，直接證得△ABD是等腰直角三角形即可；
（2）證得△DMA≌△DNB（ASA），即可得出答案；
（3）由（2）可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），由此得出Rt△DEF與△ABC的重疊部分（四邊形DMBN）的面積是△ABC面積的一半，得出結(jié)論．

解答：（1）解：△ABD是等腰直角三角形．
理由：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵D為AC邊的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，AD=CD=

1

2

AC，BD=

1

2

AC，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形．
（2）證明：∵AB=CB，
∴∠A=∠C=45°，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴DA=DC=BD，∠DBN=45°，BD⊥AC
∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=90°，
∴∠A=∠DBN．
∵∠EDF=90°，
∴∠BDN+∠BDM=90°，
∴∠ADM=∠BDN
在△DMA和△DBN中

∠ADM=∠BDN AD=BD ∠A=∠DBN

，
∴△DMA≌△DBN（ASA），
∴DM=DN． 
（3）解：由（2）可知△DMA≌△DNB（ASA），
同理可得△BDM≌△DCN（ASA），
∴S_{四邊形DMBN}=S_△BDM+S_△DBN=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×2×2=1．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，綜合性也比較強(qiáng)．