Question

如圖，現(xiàn)有一張正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)C落在P處，點(diǎn)B落在O處，OP交AB于Q，折痕為MN，連接CP．
（1）求證：∠CPD=∠CPQ；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，試判斷DP+BQ的長與PQ的長是否相等？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,正方形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題,幾何動(dòng)點(diǎn)問題

分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PCB=∠CPQ，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠CPD=∠PCB即可得出答案；
（2）首先AAS證明△CDP≌△CEP，進(jìn)而HL得出△CEQ≌△CBQ，即可得出DP+BQ=PQ．

解答：（1）證明：由翻折變換的性質(zhì)得出∠PCB=∠CPQ．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD∥BC，
∴∠CPD=∠PCB．
∴∠CPD=∠CPQ．

（2）證明：過C作CE⊥PO，垂足為E，
由（1）知，∠CPD=∠CPQ，
在△CDP和△CEP中，

∠D=∠CEP=90° ∠CPD=∠CPQ CP=CP

，
∴△CDP≌△CEP（AAS），
∴CD=CE，DP=EP，
∴BC=EC．
又∵∠B=∠CEQ=90°，
∴△CEQ和△CBQ是直角三角形，
在Rt△CEQ與Rt△CBQ中，

BC=EC CQ=CQ

，
∴Rt△CEQ≌Rt△CBQ（HL），
∴EQ=BQ，
∴DP+BQ=PQ．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練利用全等三角形的判定得出對(duì)應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵．