【題目】如圖1,在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,DBC上一個動點,連接AD,以AD為邊向右側(cè)作等腰直角ADE,其中∠ADE=90°.

(1)如圖2,G,H分別是邊AB,BC的中點,連接DG,AH,EH.求證:AGD∽△AHE;

(2)如圖3,連接BE,直接寫出當(dāng)BD為何值時,ABE是等腰三角形;

(3)在點D從點B向點C運動過程中,求ABE周長的最小值.

【答案】(1)證明見解析;(2)當(dāng)BD=0時,ABE是等腰三角形.;(3)ABE周長最小值為

【解析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定解答即可;

(2)分三種情況:

①當(dāng)BD重合時,即BD=0,如圖3,此時AB=BE;

③當(dāng)AB=AE時,如圖4,此時EC重合,可得BD的長;

③當(dāng)AB=BE時,如圖5,作輔助線,構(gòu)建等腰直角三角形和全等三角形,證明ADM≌△DEG,和EMG是等腰直角三角形,則ME=MG,根據(jù)(1)得:AHD∽△AME,且,可計算BD的長;

(3)先確定ABE周長的最小值時,E的位置:作點B關(guān)于直線MC的對稱點N,連接ANMC于點E′,此時ABE′就是所求周長最小的ABE;證明四邊形ABMC是正方形,根據(jù)ABD∽△AME,得∠AME=ABD=45°,知點E在射線MC上,利用勾股定理求AN的長,根據(jù)周長定義可得結(jié)論.

(1)證明:如圖2,由題意知ABCADE都是等腰直角三角形,

∴∠B=DAE=45°.

HBC中點,

AHBC.

∴∠BAH=45°=DAE.

∴∠GAD=HAE.

在等腰直角BAH和等腰直角DAE中,

AHABAG,AEAD

,

∴△AGD∽△AHE;

(2)解:分三種情況:

①當(dāng)BD重合時,即BD=0,如圖3,此時AB=BE;

③當(dāng)AB=AE時,如圖4,此時EC重合,

DBC的中點,

BD=BC=2;

③當(dāng)AB=BE時,如圖5,過EEHABH,交BCM,連接AM,過EEGBCG,連接DH,

AE=BE,EHAB,

AH=BH,

AM=BM,

∵∠ABC=45°,

AMBC,BMH是等腰直角三角形,

AD=DE,ADE=90°,

易得ADM≌△DEG,

DM=EG,

∵∠EMG=BMH=45°,

∴△EMG是等腰直角三角形,

ME=MG,

由(1)得:AHD∽△AME,且

∴∠AHD=AME=135°,ME=DH,

∴∠BHD=45°,MG=DH,

∴△BDH是等腰直角三角形,

BD=DH=EG=DM=

綜上所述,當(dāng)BD=02時,ABE是等腰三角形;

(3)解:當(dāng)點D與點B重合時,點E的位置記為點M,連接CM,如圖6,

此時,∠ABM=BAC=90°,AMB=BAM=45°,BM=AB=AC.

∴四邊形ABMC是正方形.

∴∠BMC=90°,

∴∠AMC=BMC-AMB=45°,

∵∠BAM=DAE=45°,

∴∠BAD=MAE,

在等腰直角BAM和等腰直角DAE中,

AMABAEAD

∴△ABD∽△AME.

∴∠AME=ABD=45°

∴點E在射線MC上,

作點B關(guān)于直線MC的對稱點N,連接ANMC于點E′,

BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=BE′+AE′,

∴△ABE′就是所求周長最小的ABE.

RtABN中,

AB=4,BN=2BM=2AB=8,

AN

∴△ABE周長最小值為AB+AN=4+4

練習(xí)冊系列答案
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①甲的速度為5/秒;②100秒時甲追上乙;③經(jīng)過50秒時甲乙相距50米;④甲到終點時,乙距離終點300.其中正確的說法有( )

A. 4 B. 3

C. 2 D. 1

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A. 19.2° B. C. D.

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我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾居世界前列,“楊輝三角”就是其中一例.如圖是“楊輝三角”的一部分,其構(gòu)造法則為:兩腰上的數(shù)都是1,其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和,“楊輝三角”給出了為正整數(shù))的展開式(按的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律.例如,在三角形中第三行的三個數(shù)1,2,1,恰好對應(yīng)展開式中的系數(shù);第四行的四個數(shù)1,3,3,1,恰好對應(yīng)著展開式中的系數(shù).

1)根據(jù)上面的規(guī)律,直接寫出的展開式共有_______項;

2)直接寫出的展開式;

3)利用上面的規(guī)律計算:

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(1)求證:BC為⊙O的切線.

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【題目】如圖所示,在中,,,點從點出發(fā)沿方向以每秒2個單位長度的速度向點勻速運動,同時點從點出發(fā)沿方向以每秒1個單位長度的速度向點勻速運動,當(dāng)其中一點到達(dá)終點時,另一個點也隨之停止運動.設(shè)點、運動的時間是,過點于點,連接、.

1)求證:;

2)四邊形能夠成為菱形嗎?若能,求出的值;若不能,請說明理由;

3)當(dāng)________時,為直角三角形.

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, 從而將陌生的高次不等式化為了學(xué)過的一元一次不等式組,分別去解兩個不等式組即可求得原不等式組的解集,即: 解不等式組(1)得,解不等式組(2)得,所以的解集為.請利用上述解題思想解決下面的問題:

1)請直接寫出的解集.

2)對于,請根據(jù)有理數(shù)的除法法則化為我們學(xué)過的不等式(組).

3)求不等式的解集.

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