【題目】四邊形ABCD為菱形,BD為對角線,在對角線BD上任取一點E,連接CE,把線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段CF,使得∠ECF=∠BCD ,點E的對應(yīng)點為點F,連接DF.
(1)如圖1,求證:BE=DF;
(2)如圖2,若DF=CF=10, ∠DFC=2∠BDC,求菱形ABCD的邊長.
【答案】(10證明見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)∠ECF=∠BCD,可求證∠ECB=∠DCF,由旋轉(zhuǎn)可得:EC=FC,由菱形的性質(zhì)可得:BC=CD,根據(jù)SAS可證△BCE≌△DCF,所以BE=DF,(2)根據(jù)DF=CF=10,可得DF=10,CF=4,由 ∠DFC=2∠BDC,可得: ∠BEF=2∠BDC,根據(jù)三角形的性質(zhì)性質(zhì)可得:
∠BEF=∠BDC+∠ECD,所以∠BDC=∠ECD,所以BE=CE=CF=4,所以BD=14,利用相似三角形的判定可證△BCD∽△CED,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得: ,然后計算可得DC.
試題解析:(1)因為∠ECF=∠BCD,
所以∠ECF-∠ECD=∠BCD-∠ECD,
所以∠ECB=∠DCF,
由旋轉(zhuǎn)可得: EC=FC,
因為菱形ABCD,
所以BC=CD,
在△BCE和△DCF中,
,
所以△BCE≌△DCF,
所以BE=DF,
(2)因為DF=CF=10,所以DF=10,CF=4,
因為∠DFC=2∠BDC,所以 ∠BEF=2∠BDC,
又因為∠BEF=∠BDC+∠ECD,
所以∠BDC=∠ECD,
所以BE=CE=CF=4,所以BD=14,
因為△BCD和△CED是等腰三角形,且∠BDC是公共角
所以△BCD∽△CED,所以,即,解得CD=,
所以菱形的邊長為.
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【題目】快、慢兩車分別從相距180千米的甲、乙兩地同時出發(fā),沿同一路線勻速行駛,相向而行,快車到達乙地停留一段時間后,按原路原速返回甲地.慢車到達甲地比快車到達甲地早小時,慢車速度是快車速度的一半,快、慢兩車到達甲地后停止行駛,兩車距各自出發(fā)地的路程y(千米)與所用時間x(小時)的函數(shù)圖象如圖所示,請結(jié)合圖象信息解答下列問題:
(1)請直接寫出快、慢兩車的速度;
(2)求快車返回過程中y(千米)與x(小時)的函數(shù)關(guān)系式;
(3)兩車出發(fā)后經(jīng)過多長時間相距90千米的路程?
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【題目】如圖,在邊長為的正方形中,點在上從向運動,連接交于點.
()試證明:無論點運動到上何處時,都有≌.
()若點從點運動到點,再繼續(xù)在上運動到點,在整個運動過程中,點以每秒單位長度的速度勻速運動,當(dāng)恰為等腰三角形,求點運動的時間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在⊙O中,弦AC⊥弦BD,垂足為H,連接BC,過點D作DE⊥BC于點E,DE交AC于點F.
(1)如圖1,求證:BD平分∠ADF;
(2)如圖2,連接OC,若OC平分∠ACB,求證:AC=BC;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接AB,過點D作DN∥AC交⊙O于點N,若tan∠ADB=,AB=3,求DN的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境:如圖,∥,,,求的度數(shù).
小明的思路是過點作∥,通過平行線的性質(zhì)來求.
(1)按照小明的思路,求的度數(shù);
(2)問題遷移:如圖,∥,點在射線上運動,記,,當(dāng)點在、兩點之間運動時,問與、之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
(3)在(2)的條件下,如果點不在、兩點之間運動時(點與點、、三點不重合),請直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè), ,……, ,(n為正整數(shù))
(1)試說明是8的倍數(shù);
(2)若△ABC的三條邊長分別為、、(為正整數(shù))
①求的取值范圍.
②是否存在這樣的,使得△ABC的周長為一個完全平方數(shù),若存在,試舉出一例,若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E點為DF上的點,B為AC上的點,∠1=∠2,∠C=∠D,那么DF∥AC,請完成它成立的理由
∵∠1=∠2 ( )
∠2=∠3 ,∠1=∠4( )
∴∠3=∠4( )
∴_______∥_______ ( )
∴∠C=∠ABD( )
∵∠C=∠D( )
∴∠D=∠ABD( )
∴DF∥AC( )
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