【題目】設(shè), ,……, ,(n為正整數(shù))

(1)試說明是8的倍數(shù);

(2)若△ABC的三條邊長分別為、、為正整數(shù))

①求的取值范圍.

②是否存在這樣的,使得△ABC的周長為一個完全平方數(shù),若存在,試舉出一例,若不存在,說明理由.

【答案】(1)證明見解析(2)①k>1;②當(dāng)k=5時,△ABC的周長為一個完全平方數(shù).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意可以對an進(jìn)行化簡,從而可以解答本題;(2根據(jù)(1)中的結(jié)果,可以得到ak、ak+1、ak+2的值,從而可以得到k的取值范圍;根據(jù)akak+1、ak+2的值,可以求得ABC的周長,從而可以解答本題.

試題解析:(1an=2n+122n﹣12

=[2n+12n﹣1][2n+1+2n﹣1]=2×4n=8n,

8n能被8整除,an8的倍數(shù);

2由(1)可得,ak=8kak+1=8k+1),ak+2=8k+2),

8k+8k+1)>8k+2),解得,k1,即k的取值范圍是:k1

存在這樣的k,使得ABC的周長為一個完全平方數(shù),

理由:∵△ABC的周長是:8k+8k+1+8k+2=24k+24=24k+1=4×6×k+1),

∴△ABC的周長為一個完全平方數(shù),則k+1=6k=5即可,

即當(dāng)k=5時,ABC的周長為一個完全平方數(shù).

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