Question

【題目】已知,平面直角坐標(biāo)系中,A(0,4) ,B (b，0) (－4＜b＜0),將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC,連接BC．

(1)如圖1,直接寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)： ；(用b表示)

(2)如圖2,取線段BC的中點(diǎn)D,在x軸取一點(diǎn)E使∠DEB＝45°,作CF⊥x軸于點(diǎn)F．

①求證：EF＝OB；

②如圖3,連接AE,作DH∥y軸交AE于點(diǎn)H,當(dāng)OE＝EF時(shí),求線段DH的長(zhǎng)度．

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】(1) ①(4,b＋4)；(2) ①見(jiàn)解析；②1．

【解析】

（1）作CD⊥y軸，易知△ABO≌△CAD，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）連AD、OD作DP⊥OD交y軸于P，易證△DBO≌△DAP，得出PO＝OE，再根據(jù)OA＝OF即可證明EF＝OB；②連結(jié)OD、AD，作直線DH交x軸于M，作AN⊥DH于N

DM⊥EF，則EM＝MD＝MF＝1，證得△BDM≌△DAN，求得NH＝HM=2，DH＝HM－DM＝1

（1）作CD⊥y軸，

∵將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC,

∴AB=AC，∠BAO+∠DAC=∠BAC=90°，

又∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠DAC，

又∠AOB=∠CDA=90°，

∴△ABO≌△CAD，

∵A(0,4) ,B (b，0) ，

∴AO=4，BO=-b

∴CD=AO=4，DO=AO-AD=AO-BO=4+b,

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(4,b＋4)；

(2)①連AD、OD作DP⊥OD交y軸于P

∴∠DOA=∠DEB

由（1）得AB=AC，故AD⊥BC，AD=BD

∴∠ADP+∠PDB=90°，

∵∠PDB+∠BDO=90°，

∴∠ADP=∠BDO

∴△DBO≌△DAP

得BO＝AP，∠DPO＝∠DOP＝45°

則PD的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)E

∴PO＝OE

又OA＝OF＝4，則EF＝AP＝BO．

②∵OE＝EF＝OB＝．

連結(jié)OD、AD，作直線DH交x軸于M，作AN⊥DH于N

DM⊥EF，則EM＝MD＝MF＝1

又AD=BD，∠BMD=∠DNA

∴△BDM≌△DAN

BM＝DN＝2＋1＝3

∴AN=DM=ME

又∠ANH=∠EMH=90°，∠AHN=∠EHM,

∴△AHN≌△EHM

NH＝HM＝＝2

則DH＝HM－DM＝2－1＝1．