Question

【題目】如圖，在中，，點，分別為，的中點，點在邊上，連接，過點作的垂線交于點，垂足為點，且與四邊形的周長相等，設，．

（1）求證：；

（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)中位線的性質和定義得DF =c，CF=b，結合△CDE與四邊形ABDE的周長相等，得到CE=，可得EF的長，進而即可得到結論；

（2）連接BE，DG，過點A作AP⊥BG于P，過B作BM⊥DG于M，過E作EN⊥DG于N，證明四邊形BMNE是平行四邊形，易得BE∥DG，從而得到△ABE∽△FDG，進而得到FG=(bc)，再證∠BAP=∠DEF=∠PAC，得到△ABP≌△AGP，從而得AB=AG=c，結合CF=FG+CG，得到關于b，c的等式，即可得到結論．

（1）證明：∵點，分別為，的中點，

∴是的中位線，

∴，．

∵點為的中點，

∴．

∵與四邊形的周長相等，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）解：連接，，過點作于，過B作BM⊥DG于M，過E作EN⊥DG于N，如圖所示．

∵，

∴

∴，

∵△BDG和△EDG的底邊為DG，

∴底邊DG上的高BM=EN．

∵BM⊥DG，EN⊥DG，

∴BM∥EN，

∴四邊形BMNE是平行四邊形，

∴BE∥DG．

∵是的中位線，

∴，，

∴∠BAE=∠DFG．

∵BE∥DG，

∴∠AEB=∠FGD，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∵，

∴∠BAE=∠DFG=2∠DEF，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴∠APB=∠APG=90°．

∵AP=AP，

∴△ABP≌△AGP，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．