Question

【題目】如圖1，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（A左B右），與y軸交于點(diǎn)C．其頂點(diǎn)為D．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)和直線BC對應(yīng)的一次函數(shù)關(guān)系式；

（2）若正方形PQMN的一邊PQ在線段AB上，另兩個(gè)頂點(diǎn)M、N分別在BC、AC上，試求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖1，E是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE的垂線交BD于點(diǎn)F，求DF的最小值．

（圖1） （圖2）

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）．

【解析】

（1）將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式即可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；先根據(jù)二次函數(shù)的解析式可求出B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出直線BC的一次函數(shù)關(guān)系式；

（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而可設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)（四邊相等）列出等式求解即可；

（3）先利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，再設(shè)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法分別求出直線DE、EF的一次項(xiàng)系數(shù)，然后利用列出等式并化簡，得出DF的表達(dá)式，由此求解即可得．

（1）

則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，，解得或

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

設(shè)直線BC對應(yīng)的一次函數(shù)關(guān)系式為

將點(diǎn)，代入得：，解得

則直線BC對應(yīng)的一次函數(shù)關(guān)系式為；

（2）設(shè)直線AC的解析式為

將點(diǎn)，代入得：，解得

則直線AC的解析式為

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為

四邊形PQMN是正方形，PQ在線段AB上

則有，解得

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為；

（3）設(shè)直線BD的解析式為

將點(diǎn)，代入得：，解得

則直線BD的解析式為

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則，

由題意，分以下兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)點(diǎn)E恰好在拋物線的對稱軸上

點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為2，即，解得

則

②當(dāng)且時(shí)

設(shè)直線DE的解析式為

將點(diǎn)，代入得：，解得

設(shè)直線EF的解析式為

將點(diǎn)，代入得：，解得

，即

整理得：

則

且

且

對于任意兩個(gè)正數(shù)都有

，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立

設(shè)（且）

則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立

因此，此時(shí)DF的最小值為

又

綜上，DF的最小值為．