【題目】如圖①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分線交于O點,過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)圖①中有幾個等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.
(2)如圖②,若AB≠AC,其他條件不變,圖中還有等腰三角形嗎?如果有,分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
(3)如圖③,若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O,過O點作OE∥BC交AB于E,交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.
【答案】(1)△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5個,EF=BE+FC;(2)有,△EOB、△FOC,存在;(3)有,EF=BE-FC.
【解析】
(1)由AB=AC,可得∠ABC=∠ACB;又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB;故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB;根據(jù)EF∥BC,可得:∠OEB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠FCO=∠BCO;由此可得出的等腰三角形有:△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形,則EO=BE,OF=FC,則EF=BE+FC.
(2)由(1)的證明過程可知:在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過程中,與AB=AC的條件沒有關(guān)系,故這兩個等腰三角形還成立.所以(1)中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立.
(3)思路與(2)相同,只不過結(jié)果變成了EF=BE-FC.
解:(1)圖中是等腰三角形的有:△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC.理由如下:
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC,△ABC是等腰三角形;
∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACO=∠ACB,
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO,
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,
∴∠AEF=∠AFE,
∴△AEF是等腰三角形,
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB;
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠OCB=∠FCO;
即EO=EB,FO=FC;
∴EF=EO+OF=BE+CF;
(2)當(dāng)AB≠AC時,△EOB、△FOC仍為等腰三角形,(1)的結(jié)論仍然成立.
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB;
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠OCB=∠FCO;
即EO=EB,FO=FC;
∴EF=EO+OF=BE+CF;
(3)△EOB和△FOC仍是等腰三角形,EF=BE-FC.理由如下:
同(1)可證得△EOB是等腰三角形;
∵EO∥BC,
∴∠FOC=∠OCG;
∵OC平分∠ACG,
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG,
∴FO=FC,故△FOC是等腰三角形;
∴EF=EO-FO=BE-FC.
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【題目】如圖,直線AB、CD相交于點O,過點O作兩條射線OM、ON,且∠AOM=∠CON=90°
(1)若OC平分∠AOM,求∠AOD的度數(shù).
(2)若∠1=∠BOC,求∠AOC和∠MOD.
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【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,點E在邊BC上,點F在BA的延長線上,BE=AF,CF∥AE,CF與邊AD相交于點G.
求證:
(1)FD=CG;
(2)CG2=FGFC.
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【題目】已知一次函數(shù)圖象交x軸于點(-2,0),與y軸的交點到原點的距離為5,則該一次函數(shù)解析式為________.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.
(1)用直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線BD交AC于點D(保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)在(1)中作出∠ABC的平分線BD后,求∠BDC的度數(shù).
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,O為菱形ABCD的對稱中心,已知C(2,0),D(0,﹣1),N為線段CD上一點(不與C、D重合).
(1)求以C為頂點,且經(jīng)過點D的拋物線解析式;
(2)設(shè)N關(guān)于BD的對稱點為N1 , N關(guān)于BC的對稱點為N2 , 求證:△N1BN2∽△ABC;
(3)求(2)中N1N2的最小值;
(4)過點N作y軸的平行線交(1)中的拋物線于點P,點Q為直線AB上的一個動點,且∠PQA=∠BAC,求當(dāng)PQ最小時點Q坐標(biāo).
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【題目】水滴進的玻璃容器如下圖所示(水滴的速度是相同的),那么水的高度h是如何隨著時間t變化的,請選擇匹配的示意圖與容器.
(A)——( ) (B)——( )
(C)——( ) (D)——( )
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【題目】如圖,長方體的長為15寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是( )
A. 20 B. 25 C. 30 D. 32
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【題目】我市某校準(zhǔn)備組織學(xué)生及學(xué)生家長坐高鐵到杭州進行社會實踐,為了便于管理.所有人員必須乘坐在同一列高鐵上.根據(jù)報名人數(shù),若都買一等座單程火車票需6560元,若都買二等座單程火車票,則需3120元(學(xué)生票二等座打7.5折,一等座不打折).已知學(xué)生家長與教師的人數(shù)之比為3:1,余姚北站到杭州東站的火車票價格如表所示:
運行區(qū)間 | 票價 | ||
上車站 | 下車站 | 一等座 | 二等座 |
余姚北 | 杭州東 | 82(元) | 48(元) |
(1)參加社會實踐的老師、家長與學(xué)生各有多少人?
(2)由于各種原因,二等座火車票單程只能買m張(m小于參加社會實踐的人數(shù)),其余的須買一等座火車票,在保證每位參與人員都有座位坐的前提下,請你設(shè)計最經(jīng)濟的購票方案,并寫出購買火車票的總費用(單程)y(元)(用含m的代數(shù)式表示).
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