【題目】如圖,△ABC與 △ADE中,∠ACB=∠AED=90°,連接BD、CE,∠EAC=∠DAB.
(1)求證:△ABC ∽△ADE;
(2)求證:△BAD ∽△CAE;
(3)已知BC=4,AC=3,AE=.將△AED繞點A旋轉(zhuǎn),當(dāng)點E落在線段CD上時,求 BD的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)BD=.
【解析】
(1)由已知可得∠CAB=∠EAD,∠ACB=∠AED=90°,則結(jié)論得證;
(2)由(1)知,∠EAC=∠DAB,則結(jié)論得證;
(3)先證△ABC∽△ADE,求出AE、AD的長,則BD可求.
證明:(1)∵∠EAC=∠DAB,
∴∠CAB=∠EAD,
∵∠ACB=∠AED=90°,
∴△ABC∽△ADE;
(2)由(1)知△ABC∽△ADE,
∴,
∵∠EAC=∠BAD,
∴△BAD∽△CAE;
(3)∵∠ACB=90°,BC=4,AC=3,
∴AB==5,
∵△ABC∽△ADE,
∴,
∴AD=,
如圖,將△AED繞點A旋轉(zhuǎn),當(dāng)點E落在線段CD上時,∠AEC=∠ADB=90°,
∴BD=.
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【題目】如圖,點A(﹣2,0),B(0,1),以線段AB為邊在第二象限作矩形ABCD,雙曲線y=(k<0)過點D,連接BD,若四邊形OADB的面積為6,則k的值是( )
A.﹣9B.﹣12C.﹣16D.﹣18
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【題目】張老師計劃通過步行鍛煉身體,她用運動手環(huán)連續(xù)記錄了6天的運動情況,并用統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖記錄數(shù)據(jù):
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 | 4月6日 |
步行數(shù)(步) | 10672 | 4927 | 5543 | 6648 | ||
步行距離(公里) | 6.8 | 3.1 | 3.5 | 4.6 | ||
卡路里消耗(千卡) | 157 | 73 | 82 | 107 | ||
燃燒脂肪(克) | 20 | 10 | 12 | 16 |
(1).請你將手環(huán)記錄的4
(2).請你將條形統(tǒng)計圖(如圖②)補充完整.
(3).張老師這6天平均每天約步行____公里,張老師分析發(fā)現(xiàn)每天步行距離和消耗的卡路里近似成正比例關(guān)系,她打算每天消耗的卡路里至少達(dá)到100千卡,那么每天步行距離大約至少為_____公里(精確到0.1公里).
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【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D是BC的中點,以點D為頂點作正方形DFGE,使點A、C分別在DE和DF上,連接BE、AF.則線段BE和AF數(shù)量關(guān)系_____.
(2)類比探究:如圖②,保持△ABC固定不動,將正方形DFGE繞點D旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤360°),則(1)中的結(jié)論是否成立?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由.
(3)解決問題:若BC=DF=2,在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中,連接AE,請直接寫出AE的最大值.
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【題目】(發(fā)現(xiàn))如圖,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,連接EF.因為AB=AD,所以把ΔABE繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ΔADG,可使AB與AD重合.因為∠CDA=∠B=90°,所以∠FDG=180°,所以F、D、G共線.
如果__________(填一個條件),可得ΔAEF≌ΔAGF.經(jīng)過進(jìn)一步研究我們可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)BE,EF,FD滿足__________時,∠EAF=45°.
(應(yīng)用)
如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=m,點E在邊BC上,且BE=2.
(1)若m=8,點F在邊DC上,且∠EAF=45°(如圖),求DF的長;
(2)若點F在邊DC上,且∠EAF=45°,求m的取值范圍.
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【題目】在同一副撲克牌中取出6張撲克牌,分別是黑桃2、4、6,紅心6、7、8.將撲克牌背面朝上分別放在甲、乙兩張桌面上,先從甲桌面上任意摸出一張黑桃,再從乙桌面上任意摸出一張紅心.
(1)表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)小黃和小石做游戲,制定了兩個游戲規(guī)則:
規(guī)則1:若兩次摸出的撲克牌中,至少有一張是“6”,小黃贏;否則,小石贏.
規(guī)則2:若摸出的紅心牌點數(shù)是黑桃牌點數(shù)的整數(shù)倍時,小黃贏;否則,小石贏.
小黃想要在游戲中獲勝,會選擇哪一條規(guī)則,并說明理由.
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【題目】如圖,以點O為圓心,AB長為直徑作圓,在⊙O上取一點C,延長AB至點D,連接DC,過點A作⊙O的切線交DC的延長線于點E,且∠DCB=∠DAC.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若AD=6,tan∠DCB=,求AE的長.
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【題目】某校教師開展了“練一手好字”的活動,校委會對部分教師練習(xí)字帖的情況進(jìn)行了問卷調(diào)查,問卷設(shè)置了“柳體”、“顏體”、”歐體“和”其他“類型,每位教師僅能選一項,根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制了如下統(tǒng)計表:
類別 | 柳體 | 顏體 | 歐體 | 其他 | 合計 |
人數(shù) | 4 | 10 | 6 | ||
占的百分比 | 0.5 | 0.25 | 1 |
根據(jù)圖表提供的信息解答下列問題:
(1)這次問卷調(diào)查了多少名教師?
(2)請你補全表格.
(3)在調(diào)查問卷中,甲、乙、丙、丁四位教師選擇了“柳體”,現(xiàn)從以上四位教師中任意選出2名教師參加學(xué)校的柳體興趣小組,請你用畫樹狀圖或列表的方法,求選出的2人恰好是乙和丙兩位教師的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,點是軸正半軸上一點,以為邊作等腰直角三角形,使,點在第一象限。若點在函數(shù)的圖象上,則的面積為( )
A. .B. .C. .D. .
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