【題目】(發(fā)現(xiàn))如圖,點E,F分別在正方形ABCD的邊BCCD上,連接EF.因為AB=AD,所以把ΔABEA逆時針旋轉90°至ΔADG,可使ABAD重合.因為∠CDA=B=90°,所以∠FDG=180°,所以F、DG共線.

如果__________(填一個條件),可得ΔAEF≌ΔAGF.經(jīng)過進一步研究我們可以發(fā)現(xiàn):當BE,EF,FD滿足__________時,∠EAF=45°.

(應用)

如圖,在矩形ABCD中,AB=6AD=m,點E在邊BC上,且BE=2

1)若m=8,點F在邊DC上,且∠EAF=45°(如圖),求DF的長;

2)若點F在邊DC上,且∠EAF=45°,求m的取值范圍.

【答案】發(fā)現(xiàn):(或)(答案不唯一),;應用:(1;(2

【解析】

[發(fā)現(xiàn)]由旋轉的性質及全等三角形的判定與性質即可得出結論;

[應用]1)作正方形ABNM,MNAF相交于點G,連接EG.設MG=x,則NG=6-x,由[發(fā)現(xiàn)]可得:BE+MG=EG,即2+x=EG.在RtENG中,由勾股定理可得x的值,即MG的長,由相似三角形的性質得到AMAD=MGDF,即可得出結論;

2)當CE重合時,如圖3,m=AD=BC=2最;

CF重合時,如圖4,m=AD最大.類似(1)可得m的值.

[發(fā)現(xiàn)]EAF=GAF(或EF=FG)如圖1所示:

AB=AD,∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使ABAD重合.

∵∠ADC=B=90°,∴∠FDG=180°,點F、D、G共線,∴∠DAG=BAEAE=AG

若添加條件為:∠EAF=GAF

AE=AG,∠EAF=GAF,AF=AF,∴ΔAEFΔAGF

若添加條件為:EF=FG

AE=AG,EF=FGAF=AF,∴ΔAEFΔAGF

BE+FD=EF時,∠EAF=45°.證明如下:

由旋轉的性質可知:∠EAG=90°,△ABE≌△ADG,∴AE=AG,∠BAE=DAG,BE=DG

BE+FD=EF,∴DG+FD=EF,∴FG=EF

AE=AG,AF=AF,∴ΔAEFΔAGF,∴∠EAF=FAG=45°.

[應用]1)作正方形ABNMMNAF相交于點G,連接EG.設MG=x,則NG=6-x

BE=2,∴EN=6-2=4.由[發(fā)現(xiàn)]可得:BE+MG=EG,∴2+x=EG.在RtENG中,∵EN2+NG2=EG2,∴ ,解得:x=3,∴MG=3

MNDC,∴△AMG∽△ADF,∴AMAD=MGDF,∴68=3DF,解得:DF=4

2)當CE重合時,如圖3,m=AD=BC=2最;

CF重合時,如圖4,m=AD最大.類似(1)可得:MG=3

MNDC,∴△AMG∽△ADC,∴AMMG=ADDC,∴63=m6,解得:m=12

綜上所述:2m12

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A.B.C.D.

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