【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D是BC的中點,以點D為頂點作正方形DFGE,使點A、C分別在DE和DF上,連接BE、AF.則線段BE和AF數(shù)量關(guān)系_____.
(2)類比探究:如圖②,保持△ABC固定不動,將正方形DFGE繞點D旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤360°),則(1)中的結(jié)論是否成立?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由.
(3)解決問題:若BC=DF=2,在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中,連接AE,請直接寫出AE的最大值.
【答案】(1)BE=AF;(2)成立;(3)AE的最大值為3.
【解析】
(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得出AD=BD,DE=DF,∠BDE=∠ADF,證明△BDE≌△ADF,即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得出AD=BD,DE=DF,∠BDE=∠ADF,證明△BDE≌△ADF,即可得出結(jié)論;注意兩種情況討論;
(3)當點A、D、E共線時,AE取得最大值,最大值為AD+DE,求出DE的長,即可得出結(jié)果.
解:(1)∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D是BC的中點,
∴AD=BD=DC,∠BDA=90°,
∵四邊形DFGE是正方形,
∴DE=DF,∠EDF=90°,
∴∠BDE=∠ADF=90°,
在△BDE和△ADF中, ,
∴△BDE≌△ADF(SAS),
∴BE=AF
故答案為:BE=AF;
(2)成立;理由如下:
當正方形DFGE在BC的上方時,如圖②所示,連接AD,
∵在Rt△ABC中,AB=AC,D為斜邊BC的中點,
∴AD=BD,AD⊥BC,
∴∠ADE+∠EDB=90°,
∵四邊形DFGE為正方形,
∴DE=DF,且∠EDF=90°,
∴∠ADE+∠ADF=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中,,
∴△BDE≌△ADF(SAS),
∴BE=AF;
當正方形DFGE在BC的下方時,連接AD,如圖③所示:
∵∠BDE=∠BDF+90°,∠ADF=∠BDF+90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中,,
∴△BDE≌△ADF(SAS),
∴BE=AF;
綜上所述,(1)中的結(jié)論BE=AF成立;
(3)在△ADE中,∵AE<AD+DE,
∴當點A、D、E共線時,AE取得最大值,最大值為AD+DE.如圖④所示:
則AD=BC=1,DE=DF=2,
∴AE=AD+DE=3,
即AE的最大值為3.
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【題目】某中學課外活動小組準備圍建一個矩形生物苗圃園,其中一邊靠墻,另外三邊用長為30米的籬笆圍成。已知墻長為18米(如圖所示),設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米.
(1)若平行于墻的一邊長為y米,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及其自變量x的取值范圍.
(2)垂直于墻的一邊的長為多少米時,這個苗圃園的面積最大,并求出這個最大值.
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【題目】經(jīng)過實驗獲得兩個變量 x(x 0), y( y 0) 的一組對應(yīng)值如下表。
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y | 7 | 3.5 | 2.33 | 1.75 | 1.4 | 1.17 | 1 |
(1)在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系,畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象,求出這個函數(shù)表達式;
(2)結(jié)合函數(shù)圖象解決問題:(結(jié)果保留一位小數(shù))
①的值約為多少?
②點A坐標為(6,0),點B在函數(shù)圖象上,OA=OB,則點B的橫坐標約是多少?
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【題目】為響應(yīng)市委、市政府創(chuàng)建“森林城市”的號召,某中學在校園內(nèi)計劃種植柳樹和銀杏樹.已知購買2棵柳樹苗和3棵銀杏樹苗共需1800元,購買4棵柳樹苗和1棵銀杏樹苗共需1100元.
(1)求每棵柳樹苗和每棵銀杏樹苗各多少錢?
(2)該校計劃購買兩種樹苗共100棵,并且銀杏樹苗的數(shù)量不少于柳樹苗的,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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【題目】如圖,拋物線的圖象與軸交于兩點(點在點的左邊)與軸交于點,拋物線的頂點為.
(1)求點的坐標;
(2)點為線段上一點(點不與點重合),過點作軸的垂線,與直線交于點,與拋物線交于點,過點作交拋物線于點,過點作軸于點,可得矩形.如圖,點在點左邊,當矩形的周長最大時,求此時的的面積;
(3)在(2)的條件下,當矩形的周長最大時,連接,過拋物線上一點作軸的平行線,與直線交于點(點在點的上方)若,求點的坐標.
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【題目】如圖,△ABC與 △ADE中,∠ACB=∠AED=90°,連接BD、CE,∠EAC=∠DAB.
(1)求證:△ABC ∽△ADE;
(2)求證:△BAD ∽△CAE;
(3)已知BC=4,AC=3,AE=.將△AED繞點A旋轉(zhuǎn),當點E落在線段CD上時,求 BD的長.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的弦,C是的中點,聯(lián)結(jié)OA,AC,如果∠OAB=20°,那么∠CAB的度數(shù)是_____.
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【題目】某市植物園于2019年3月-5月舉辦花展,按照往年的規(guī)律推算,自4月下旬起游客量每天增加人,游客量預(yù)計將在5月1日達到高峰,并持續(xù)到5月4日,隨后游客量每天有所減少.已知4月24日為第一天起,每天的游客量(人)與時間(天)的函數(shù)圖像如圖所示,結(jié)合圖像提供的信息,解答下列問題:
已知該植物園門票元/張,若每位游客在園內(nèi)每天平均消費元,試求5月1日-5月4日,所有游客消費總額為多少元?
當時,求關(guān)于的函數(shù)解析式.
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