Question

【題目】如圖，點(diǎn)D是直角等腰△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，M為邊AC上不和A、C重合的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DM，過(guò)D作DNDM，交BC于N，聯(lián)結(jié)MN．

(1)求證：以AM、MN、BN為邊的三角形是直角三角形

(2)如果AC2，AMx，試用x表示△DMN的面積，并求當(dāng)ADM22．5時(shí)△DMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），

【解析】

（1）連接、MN，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)利用ASA可證，由全等三角形的性質(zhì)可得，，由是直角三角形可知以為邊的三角形時(shí)直角三角形；

（2）易知，，由勾股定理可得MN長(zhǎng)，由（1）中可知，結(jié)合勾股定理可知MD長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式可用x表示出△DMN的面積，當(dāng)ADM22．5時(shí)，可得，在中，根據(jù)勾股定理可得CD長(zhǎng)，求出x值代入△DMN的面積的表達(dá)式中即可求解.

（1） 如圖，連接、MN，

是等腰直角三角形

點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)

在和中，

∴

是直角三角形，即以為邊的三角形時(shí)直角三角形

∴以為邊的三角形時(shí)直角三角形

（2），由（1）知

在中，根據(jù)勾股定理得，

在中，根據(jù)勾股定理得

即 ，

所以

當(dāng)時(shí)，，

，

在中，根據(jù)勾股定理得

由（1）知

，

，解得

將代入得.