Question

【題目】如圖，是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，由向運(yùn)動(dòng)（與、不重合），是延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)以相同的速度由向延長(zhǎng)線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)（不與重合），過(guò)作于，連接交于

（1）若時(shí)，求的長(zhǎng)

（2）當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段與線(xiàn)段是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)；如果發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)∠BQD=30° 時(shí)，AP=3；（2）相等，見(jiàn)解析；（3）DE的長(zhǎng)不變，

【解析】

（1）先判斷出∠QPC是直角，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出QC＝2PC，建立方程求解決即可；

（2）先作出PF∥BC得出∠PFA＝∠FPA＝∠A＝60°，進(jìn)而判斷出△DBQ≌△DFP得出DQ＝DP即可得出結(jié)論；

（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得出EF＝AF，借助DF＝DB，即可得出DF＝BF，最后用等量代換即可．

（1）解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形

∴∠ACB=60°，且∠BQD=30°

∴∠QPC=90°

設(shè)AP=，則PC=，QB=

∴QC=

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°

∴PC=QC 即

解得

∴ 當(dāng)∠BQD=30° 時(shí)，AP=3

（2）相等,

證明：過(guò)P作PF∥QC，則△AFP是等邊三角形

∴AP=PF,∠DQB=∠DPF

∵P、Q同時(shí)出發(fā)，速度相同，即BQ=AP，

∴BQ=PF，

在△DBQ和△DFP中，

∴△DBQ≌△DFP(AAS)

∴QD=PD

（3）解：不變,

由（2）知△DBQ≌△DFP

∴BD=DF

∵△AFP是等邊三角形，PE⊥AB，

∴AE=EF，

∴DE=DF+EF=BF+FA=AB=為定值，即DE的長(zhǎng)不變.