【題目】 已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(-2,0),B(0,-4)與x軸交于另一點C,連接BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,P是第一象限內(nèi)拋物線上一點,BP交x軸于點E,且S△PBO=S△PBC,求證:E是OC的中點;
(3)在(2)的條件下求點P的坐標.
(4)在(2)的條件下拋物線上是否存在點D,使△ACD的面積與△ABP的面積相等?若存在,請求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2-x-4;(2)見解析;(3)P(6,8);(4)存在,D點坐標為(6,8)或(-4,8)
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;
(2)令y=0求拋物線與x軸的交點C的坐標,作△POB和△PBC的高線,根據(jù)面積相等可得OG=CF,證明△OEG≌△CEF,得OE=CE,則E是OC的中點;
(3)可得OE=CE=2,根據(jù)三角函數(shù)列式可得P的坐標;
(4)根據(jù)S△ABP=S△AEP+S△AEB可求出△ABP的面積,則面積相等可求出點D的縱坐標,代入拋物線解析式可得D點的坐標.
解:(1)把點A(-2,0),B(0、-4)代入拋物線y=x2+bx+c中得:
,
解得:,
∴拋物線的解析式為y=x2-x-4;
(2)當y=0時,x2-x-4=0,
解得:x=-2或4,
∴C(4,0),
如圖1,過O作OG⊥BP于G,過C作CF⊥BP于F,
∵S△PBO=S△PBC,
∴,
∴OG=CF,
∵∠OEG=∠CEF,∠OGE∠CFE,
∴△OEG≌△CEF(AAS),
∴OE=CE,
即E是OC的中點;
(3)設P(x,x2-x-4),如圖2,過P作PM⊥y軸于M,
tan=,
∴BM=2PM,
∴4+x2-x-4=2x,
x2-6x=0,
x1=0(舍),x2=6,
∴P(6,8),
(4)∵OE=2,OA=2,
∴AE=OA+OE=4,
∴S△ABP=S△AEP+S△AEB==24,
∵AC=6,△ACD的面積與△ABP的面積相等,
∴,
∴|yD|=8,
∴yD=±8,
當時,
解得x1=6,x2=-4,
∴D1(6,8),D2(-4,8),
當時,方程沒有實數(shù)根,
綜合可得D點坐標為(6,8)或(-4,8).
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【題目】小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤島,媽媽在孤島P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船(如圖所示).小船從P處出發(fā),沿北偏東60°方向劃行200米到A處,接著向正南方向劃行一段時間到B處.在B處小亮觀測到媽媽所在的P處在北偏西37°的方向上,這時小亮與媽媽相距多少米(精確到1米)?
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)
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【題目】如圖,BE是O的直徑,點A和點D是⊙O上的兩點,過點A作⊙O的切線交BE延長線于點.
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度數(shù);
(2)若AB=AC,CE=2,求⊙O半徑的長.
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【題目】 今年5月份,我市某中學開展爭做“五好小公民”征文比賽活動,賽后隨機抽取了部分參賽學生的成績,按得分劃分為A,B,C,D四個等級,并繪制了如下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖:
根據(jù)以上信息,解答以下問題:
(1)表中的x=______;
(2)扇形統(tǒng)計圖中m=______,n=______,C等級對應的扇形的圓心角為______度;
(3)該校準備從上述獲得A等級的四名學生中選取兩人做為學校“五好小公民”志愿者,已知這四人中有兩名男生(用a1,a2表示)和兩名女生(用b1,b2表示),請用列表或畫樹狀圖的方法求恰好選取的是a1和b1的概率.
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【題目】如圖①,在正方形中,,為對角線上任意一點(不與重合),連接,過點作,交線段于點.
(1)求證:;
(2)若,求證:;
(3)如圖②,連接交于點.若,求的值.
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【題目】如圖,矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上,點B的坐標為.雙曲線的圖象經(jīng)過BC的中點D,且與AB交于點E,連接DE.
(1)求k的值及點E的坐標;
(2)若點F是OC邊上一點,且△FBC∽△DEB,求直線FB的解析式.
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【題目】某校積極開展中學生社會實踐活動,決定成立文明宣傳、環(huán)境保護、交通監(jiān)督三個志愿者隊伍,每名學生最多選擇一個隊伍,為了了解學生的選擇意向,隨機抽取A,B,C,D四個班,共200名學生進行調(diào)查.將調(diào)查得到的數(shù)據(jù)進行整理,繪制成如下統(tǒng)計圖(不完整)
(1)求扇形統(tǒng)計圖中交通監(jiān)督所在扇形的圓心角度數(shù);
(2)求D班選擇環(huán)境保護的學生人數(shù),并補全折線統(tǒng)計圖;(溫馨提示:請畫在答題卷相對應的圖上)
(3)若該校共有學生2500人,試估計該校選擇文明宣傳的學生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸上,OA=4,OC=3,直線m:y=﹣x從原點O出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動,設直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M,N,直線m運動的時間為t(秒),設△OMN的面積為S,則能反映S與t之間函數(shù)關系的大致圖象是( )
A. B. C. D.
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