Question

【題目】如圖①，在正方形中，，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)（不與重合），連接，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若，求證：；

（3）如圖②，連接交于點(diǎn)．若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

(1)如圖，過分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，先證明四邊形是正方形，繼而證明，即可得結(jié)論；

(2)由(1)得，，根據(jù)比例線段可得，，再根據(jù)可得，從而求得AN、BN長(zhǎng)即可得結(jié)論；

(3)把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，進(jìn)而可推導(dǎo)得出，，證明是等腰直角三角形，繼而證明，可得MG=HG，根據(jù)題意設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可求得，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可求得a的值，繼而證明， 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得答案.

(1)如圖，過分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，

四邊形是正方形，

，，

，

平行四邊形是正方形，

，

，

，

，

，

，

；

(2)由(1)得：，，

，

，，

，

，

，，

；

(3)把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

，，

，，，.

，，

，，

是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

設(shè)，則，

在中，，則，

正方形的邊長(zhǎng)為，

，

，

，

，，

，，

，

，

.