【題目】如圖,在ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,以AC為斜邊的等腰直角三角形AEC的邊CE,與AD交于點(diǎn)F,連接OE,使得OE=OD.在AD上截取AH=CD,連接EH,ED.
(1)判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由;
(2)若AB=1,BC=3,求EH的長.
【答案】(1)四邊形ABCD是矩形,理由見解析;(2).
【解析】
(1)根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形,得 AO=OC,再根據(jù)三角形AEC是等腰直角三角形,得出OE=AO=OC,再根據(jù)OE=OD得出OD=OE=OA=OC=OB,從而得出AC=BD,從而得證;
(2)根據(jù)AB=1,BC=3,根據(jù)AH=CD得AH=1,從而計(jì)算HD=2,再根據(jù)三角形AEC是等腰直角三角形證明△AEH≌△CED,得出三角形EHD是等腰直角三角形,從而計(jì)算EH的長.
(1)四邊形ABCD是矩形.理由如下:
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OCAC,OB=ODBD.
∵△AEC是等腰直角三角形,
∴OE⊥AC,OEAC=OA.
∵OE=OD,
∴OA=OD,
∴AC=BD,
∴平行四邊形ABCD是矩形;
(2)∵平行四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC=3,∠ADC=90°,CD=AB=1.
∵AH=CD,
∴AH=1.
∵∠AEC=∠ADC=90°,
∴∠DCF+∠DFC=∠EAF+∠AFE=90°.
∵∠AFE=∠DFC,
∴∠DCF=∠EAF,
在△AEH和△CED中,,
∴△AEH≌△CED(SAS),
∴EH=ED,∠AEH=∠DEC.
∵∠AEH+∠HEC=∠AEC=90°,
∴∠CED+∠HEC=∠HED=90°,
∴EH2+ED2=DH2,
∴2EH2=DH2,
∴EHDH(AD﹣AH)(3﹣1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸的交點(diǎn)為A(0,3),與x軸的交點(diǎn)分別為B(2,0),C(6,0).直線AD∥x軸,在x軸上位于點(diǎn)B右側(cè)有一動(dòng)點(diǎn)E,過點(diǎn)E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點(diǎn)分別為P,Q.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),求△APC面積的最大值;
(3)是否存在點(diǎn)P,使以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(列方程解應(yīng)用題)為提高學(xué)生的閱讀興趣,某學(xué)校建立了共享書架,并購買了一批書籍.其中購買A種圖書花費(fèi)了3000元,購買B種圖書花費(fèi)了1600元,A種圖書的單價(jià)是B種圖書的1.5倍,購買A種圖書的數(shù)量比B種圖書多20本,求A和B兩種圖書的單價(jià)分別為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上,則k的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“新型冠狀病毒肺炎”疫情牽動(dòng)著億萬國人的心,為進(jìn)一步加強(qiáng)疫情防控工作,蘭州市某學(xué)校利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行疫情防控知識(shí)測試.洪濤同學(xué)對(duì)九年級(jí)1班和2班全體學(xué)生的測試成績數(shù)據(jù)進(jìn)行了收集、整理和分析,研究過程中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下.
信息一:疫情防控知識(shí)測試題共10道題目,每小題10分;
信息二:兩個(gè)班級(jí)的人數(shù)均為40人;
信息三:九年級(jí)1班成績頻數(shù)分布直方圖如圖,
信息四:九年級(jí)2班平均分的計(jì)算過程如下,
80.5(分);
信息五:
統(tǒng)計(jì)量 班級(jí) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
九年級(jí)1班 | 82.5 | m | 90 | 158.75 |
九年級(jí)2班 | 80.5 | 75 | n | 174.75 |
根據(jù)以上信息,解決下列問題:
(1)m= ,n= ;
(2)你認(rèn)為哪個(gè)班級(jí)的成績更加穩(wěn)定?請說明理由;
(3)在本次測試中,九年級(jí)1班甲同學(xué)和九年級(jí)2班乙同學(xué)的成績均為80分,你認(rèn)為兩人在各自班級(jí)中誰的成績排名更靠前?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖,其中每個(gè)小正方形的邊長為1個(gè)單位長度.
(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形△A1B1C1;
(2)畫出將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2.
(3)在(2)的條件下,求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2所經(jīng)過的路線長(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD(AB>AD)中,點(diǎn)M是邊DC上的一點(diǎn),點(diǎn)P是射線CB上的動(dòng)點(diǎn),連接AM,AP,且∠DAP=2∠AMD.
(1)若∠APC=76°,則∠DAM= ;
(2)猜想∠APC與∠DAM的數(shù)量關(guān)系為 ,并進(jìn)行證明;
(3)如圖1,若點(diǎn)M為DC的中點(diǎn),求證:2AD=BP+AP;
(4)如圖2,當(dāng)∠AMP=∠APM時(shí),若CP=15,=時(shí),則線段MC的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知銳角∠AOB,如圖,(1)在射線OA上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)O為圓心,OC長為半徑作,交射線OB于點(diǎn)D,連接CD;(2)分別以點(diǎn)C,D為圓心,CD長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)P,連接CP,DP;(3)作射線OP交CD于點(diǎn)Q.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.CP∥OBB.CP=2QCC.∠AOP=∠BOPD.CD⊥OP
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校九年級(jí)為了解學(xué)生課堂發(fā)言情況,隨機(jī)抽取該年級(jí)部分學(xué)生,對(duì)他們某天在課堂上發(fā)言的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),其結(jié)果如表,并繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,已知B、E兩組發(fā)言人數(shù)的比為5:2,請結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)回答下列問題:
(1)則樣本容量是 ,并補(bǔ)全直方圖;
(2)該年級(jí)共有學(xué)生500人,請估計(jì)全年級(jí)在這天里發(fā)言次數(shù)不少于12的次數(shù);
(3)已知A組發(fā)言的學(xué)生中恰有1位女生,E組發(fā)言的學(xué)生中有2位男生,現(xiàn)從A組與E組中分別抽一位學(xué)生寫報(bào)告,請用列表法或畫樹狀圖的方法,求所抽的兩位學(xué)生恰好是一男一女的概率.
發(fā)言次數(shù)n | |
A | 0≤n<3 |
B | 3≤n<6 |
C | 6≤n<9 |
D | 9≤n<12 |
E | 12≤n<15 |
F | 15≤n<18 |
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